Python 3.x Euler梁，用python求解微分方程

我必须解Euler-Bernoulli微分梁方程，它是：

w’’’’(x) = q(x)

和边界条件：

w(0) = w(l) = 0 

及

光束如下图所示：

连续力

q

为

2N/mm

我必须使用shooting方法和

scipy.integrate.odeint（）

func

我甚至无法开始，因为我不知道如何把微分方程写成一个方程组

能理解用python求解带边界条件的微分方程的人请帮忙

谢谢：）

拍摄方法 要使用

放炮方法
用
scipy.integrate.odeint（）
解算
四阶ODE BVP
，您需要：

1.将
4阶颂歌
分为
4个一阶颂歌
，替换为：

u = w
u1 = u' = w'           # 1
u2 = u1' = w''         # 2
u3 = u2' = w'''        # 3
u4 = u3' = w'''' = q   # 4

2。）创建一个
函数
来执行
派生逻辑
，并将该函数连接到
integrate.odeint（）
，如下所示：

function calc(u, x , q)
{
    return [u[1], u[2], u[3] , q]
}

w = integrate.odeint(calc, [w(0), guess, w''(0), guess], xList, args=(q,))

# the current w(x) value is the previous value plus the current change of w in dx.
w(x) = w(x-dx) + dw/dx
# others are calculated the same
dw(x)/dx = dw(x-dx)/dx + d^2w(x)/dx^2
# etc.

说明：

我们将边界值条件发送到
ox=0
（
[w（0），w'（0），w'（0），w'（0），w'（0）]
）的
odeint（）
），该函数调用函数
calc
，该函数返回要添加到
w
当前状态的导数。请注意，我们正在猜测
w'（0）
和
w'（0）
的初始边界条件，同时输入已知的
w（0）=0
和
w'（0）=0

将导数添加到
w
的当前状态时如下所示：

function calc(u, x , q)
{
    return [u[1], u[2], u[3] , q]
}

w = integrate.odeint(calc, [w(0), guess, w''(0), guess], xList, args=(q,))

# the current w(x) value is the previous value plus the current change of w in dx.
w(x) = w(x-dx) + dw/dx
# others are calculated the same
dw(x)/dx = dw(x-dx)/dx + d^2w(x)/dx^2
# etc.

这就是为什么我们从
计算函数返回值
[u[1]，u[2]，u[3]，q]
，而不是
[u[0]，u[1]，u[2]，u[3]
，因为
u[1]
是
一阶导数，所以我们将其添加到
w
，等等

3。）现在我们可以设置我们的
拍摄方法了。我们将为
w'（0）
和
w'（0）
发送
不同的初始边界值
到
odeint（）
，然后检查
返回的w（x）剖面的最终结果
，以确定
w（L）
和
w'（L）
到
0
（已知的
边界条件）的接近程度

拍摄方法的程序：
要打印我们找到的
w（x）
的最佳配置文件：

print(resultW[index])

其输出类似于：

 #       w(x)             w'(x)           w''(x)           w'''(x)
[[  0.00000000e+00   7.54147813e-04   0.00000000e+00  -9.80392157e-03]
 [  7.54144825e-07   7.54142917e-04  -9.79392157e-06  -9.78392157e-03]
 [  1.50828005e-06   7.54128237e-04  -1.95678431e-05  -9.76392157e-03]
 ..., 
 [ -4.48774290e-05  -8.14851572e-04   1.75726275e-04   1.01560784e-02]
 [ -4.56921910e-05  -8.14670764e-04   1.85892353e-04   1.01760784e-02]
 [ -4.65067671e-05  -8.14479780e-04   1.96078431e-04   1.01960784e-02]]


为了再次检查上述结果，我们还将使用
数值方法求解
ODE

数值方法
要使用
数值方法解决这个问题，我们首先需要
解微分方程。我们将得到
四个常数
，我们需要借助
边界条件
来找到它们。将使用
边界条件
形成
方程组
，以帮助找到必要的
常数

w''(0) =>   0 = q(x)*0.5*0^2 + C*0 + D
w''(L) =>   0 = q(x)*0.5*L^2 + C*L + D

例如：

w’’’’(x) = q(x);

这意味着我们有：

d^4(w(x))/dx^4 = q(x)

由于积分后q（x）
是常数，我们有：

d^3(w(x))/dx^3 = q(x)*x + C

再次整合后：

d^2(w(x))/dx^2 = q(x)*0.5*x^2 + C*x + D

再次整合后：

dw(x)/dx = q(x)/6*x^3 + C*0.5*x^2 + D*x + E

最后，最后一次积分产生：

w(x) = q(x)/24*x^4 + C/6*x^3 + D*0.5*x^2 + E*x + F

然后我们看一下
边界条件
（现在我们有上面的
w'（x）
和
w（x）
）的表达式），我们用它建立了一个
方程组
，以求解
常数

w''(0) =>   0 = q(x)*0.5*0^2 + C*0 + D
w''(L) =>   0 = q(x)*0.5*L^2 + C*L + D

这为我们提供了
常量
：

D = 0            # from the first equation
C = - 0.01 * L   # from the second (after inserting D=0)

在对
w（0）=0和
w（L）=0重复相同操作后，我们得到：

F = 0                  # from first
E = 0.01/12.0 * L^3    # from second

现在，在我们求解了方程，找到了所有的积分常数之后，我们就可以为数值方法编制程序了

数值计算程序
我们将为每个
dx
创建一个
FOR
循环，一次遍历整个光束，并总结（积分）
w（x）

哪些产出：

The integral of w(x) over the beam is:
0.00016666652805511192


现在比较这两种方法


打靶法与数值法的结果比较
梁上的
w（x）
积分：

Shooting method  ->  0.000135085272117
Numerical method ->  0.00016666652805511192

这是一个很好的匹配，现在让我们看看检查图：


从图中更明显的是，我们有一个很好的匹配，
拍摄方法的结果是正确的

为了使
放炮方法获得更好的结果
将
xSteps
和
u2_u4_maxNumbers
增加到更大的数字，您还可以将
u2Numbers
和
u4Numbers
缩小到
相同的设置大小，但间隔更小（大约是以前程序运行的最佳结果）。请记住，设置
xSteps
和
u2_u4_maxNumbers
太高会导致程序运行很长时间。
您需要将ODE转换为一阶系统，设置
u0=w
一个可能且通常使用的系统是

u0'=u1，
u1'=u2，
u2'=u3，
u3'=q（x）

这可以实现为

def ODEfunc(u,x): return [ u[1], u[2], u[3], q(x) ]

然后生成一个函数，该函数使用实验初始条件进行触发，并返回第二个边界条件的分量

def shoot(u01, u03): return odeint(ODEfunc, [0, u01, 0, u03], [0, l])[-1,[0,2]]

现在你有了一个由两个变量和两个分量组成的函数，你需要用通常的方法求解这个2x2系统。由于系统是线性的，所以放炮函数也是线性的，您只需找到系数并求解得到的线性系统。
什么是
w
代表的？我想，
q
是恒力吗？我编辑并纠正了我写的错误，我写了u'''（x）而不是w'''（x）。是的，q（x）是恒力。谢谢，这非常有用非常感谢。我编写代码并在shot函数中输入值，得到一个包含两个组件的列表。我的姐妹到底是什么
def shoot(u01, u03): return odeint(ODEfunc, [0, u01, 0, u03], [0, l])[-1,[0,2]]