Python RK4方法和Euler方法仅适用于某些公式

我试图写一个算法来解决非线性常微分方程

dr/dt = r(t)+r²(t)  

哪个有（一种可能的）解决方案

r(t) = r²(t)/2+r³(t)/3  

T0 + (Ts − T0)*exp(−kt)

为此，我在python中实现了euler方法和RK4方法。对于错误检查，我使用了rosettacode上的示例：

dT/dt = -k(T(t)-T0)

解决方案

r(t) = r²(t)/2+r³(t)/3  

T0 + (Ts − T0)*exp(−kt)

因此，我的代码现在看起来像

import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt

def test_func_1(t, x):
    return x*x

def test_func_1_sol(t, x):
    return x*x*x/3.0

def test_func_2_sol(TR, T0, k, t):
    return TR + (T0-TR)*np.exp(-0.07*t)

def rk4(func, dh, x0, t0):
    k1 = dh*func(t0, x0)
    k2 = dh*func(t0+dh*0.5, x0+0.5*k1)
    k3 = dh*func(t0+dh*0.5, x0+0.5*k2)
    k4 = dh*func(t0+dh, x0+k3)
    return x0+k1/6.0+k2/3.0+k3/3.0+k4/6.0

def euler(func, x0, t0, dh):
    return x0 + dh*func(t0, x0)

def rho_test(t0, rho0):
    return rho0 + rho0*rho0

def rho_sol(t0, rho0):
    return rho0*rho0*rho0/3.0+rho0*rho0/2.0

def euler2(f,y0,a,b,h):
    t,y = a,y0
    while t <= b:
        #print "%6.3f %6.5f" % (t,y)
        t += h
        y += h * f(t,y)

def newtoncooling(time, temp):
    return -0.07 * (temp - 20)

x0 = 100
x_vec_rk = []
x_vec_euler = []
x_vec_rk.append(x0)

h = 1e-3
for i in range(100000):
    x0 = rk4(newtoncooling, h, x0, i*h)
    x_vec_rk.append(x0)

x0 = 100
x_vec_euler.append(x0)
x_vec_sol = []
x_vec_sol.append(x0)

for i in range(100000):
    x0 = euler(newtoncooling, x0, 0, h)
    #print(i, x0)
    x_vec_euler.append(x0)
    x_vec_sol.append(test_func_2_sol(20, 100, 0, i*h))

euler2(newtoncooling, 0, 0, 1, 1e-4)

x_vec = np.linspace(0, 1, len(x_vec_euler))

plt.plot(x_vec, x_vec_euler, x_vec, x_vec_sol, x_vec, x_vec_rk)
plt.show()

#rho-function
x0 = 1
x_vec_rk = []
x_vec_euler = []
x_vec_rk.append(x0)

h = 1e-3
num_steps = 650
for i in range(num_steps):
    x0 = rk4(rho_test, h, x0, i*h)
    print "%6.3f %6.5f" % (i*h, x0)
    x_vec_rk.append(x0)

x0 = 1
x_vec_euler.append(x0)
x_vec_sol = []
x_vec_sol.append(x0)

for i in range(num_steps):
    x0 = euler(rho_test, x0, 0, h)
    print "%6.3f %6.5f" % (i*h, x0)
    x_vec_euler.append(x0)
    x_vec_sol.append(rho_sol(i*h, i*h+x0))

x_vec = np.linspace(0, num_steps*h, len(x_vec_euler))
plt.plot(x_vec, x_vec_euler, x_vec, x_vec_sol, x_vec, x_vec_rk)
plt.show()

将numpy导入为np
从matplotlib导入pyplot作为plt
def测试功能1（t，x）：
返回x*x
def测试功能1溶胶（t，x）：
返回x*x*x/3.0
def测试功能2溶胶（TR、T0、k、t）：
返回TR+（T0-TR）*np.exp（-0.07*t）
def rk4（func、dh、x0、t0）：
k1=dh*func（t0，x0）
k2=dh*func（t0+dh*0.5，x0+0.5*k1）
k3=dh*func（t0+dh*0.5，x0+0.5*k2）
k4=dh*func（t0+dh，x0+k3）
返回x0+k1/6.0+k2/3.0+k3/3.0+k4/6.0
def欧拉（func、x0、t0、dh）：
返回x0+dh*func（t0，x0）
def rho_测试（t0，rho）：
返回rho0+rho0*rho0
def rho_sol（t0，rho0）：
返回rho0*rho0*rho0/3.0+rho0*rho0/2.0
def euler2（f、y0、a、b、h）：
t、 y=a，y0
而t0.65，对于RK4和euler）对于我的公式。因此，是我的实现不正确，还是我没有看到另一个错误？
搜索方程的精确解：

dr/dt = r(t)+r²(t)

我发现：

r(t) = exp(C+t)/(1-exp(C+t))

其中，
C
是取决于初始条件的任意常数。可以看出，对于
t->-C
而言，
r（t）->无穷大

我不知道你们使用什么初始条件，但在计算数值解时可能会遇到这种奇异性

更新：
由于初始条件是
r（0）=1
常数
C
是
C=ln（1/2）~-0.693
。它可以解释为什么数值解在t>0.65时崩溃

更新：
为了验证你的代码，你可以简单地比较你计算的数值解，比如说，
0你的方程的解是r（t）=exp（t）/（1-exp（t）），不是吗？根据*x%2Bx，它是r（t）=rho_sol（）不，对于
r'（t）=t+t²是这样的。这应该会让你觉得
r（t）=r²（t）/2+r³（t）/3
是一个只有常数解的
r
的隐式方程。@RomanFursenko:我是个白痴，我在WA中输入了错误的数据……我的初始条件是x0=1，如代码中所示。你可以在初始值中求出
r（t）=（r（0）*exp（t））/（1-r（0）*（exp（t）-1））
@同样，为了验证你的代码，你可以简单地比较你的数值解，比如说
0