加速我的费马分解函数（Python）

我的任务是使用因子分解非常大的复合数。这些数字是1024位，大约是309位十进制数字

我已经提出了下面的Python代码，它使用模块来保证准确性。它只是上显示的伪代码的Python实现。我读了那页上的“”部分，但不确定如何实现它

def fermat_factor(n):
    assert n % 2 != 0  # Odd integers only

    a = gmpy2.ceil(gmpy2.sqrt(n))
    b2 = gmpy2.square(a) - n
    while not is_square(b2):
        a += 1
        b2 = gmpy2.square(a) - n

    factor1 = a + gmpy2.sqrt(b2)
    factor2 = a - gmpy2.sqrt(b2)
    return int(factor1), int(factor2) 

def is_square(n):
    root = gmpy2.sqrt(n)
    return root % 1 == 0  # '4.0' will pass, '4.1212' won't

---

对于较小的数字，此代码运行得相当快，但对于问题中给定的较大数字，此代码运行的时间太长。如何提高此代码的速度？我不是在找人为我写代码的人，但如果能给我一些建议，我将不胜感激。感谢您的回复。

请考虑重写此脚本，以便仅使用整数而不是任意精度浮点

gmpy支持整数平方根（返回有效计算的平方根下限）。这可以通过测试平方根的平方是否等于原始值来用于is_square（）函数

我不确定gmpy2，但在gmpy.sqrt（）中需要一个整数参数，并返回一个整数输出。如果您使用的是浮点数，那么这可能就是您的问题（因为浮点数与整数相比非常慢，尤其是在使用扩展精度时）。如果您实际上使用的是整数，那么每次调用is_square（）时，它都必须执行从整数到浮点的繁琐转换（并且gmpy2.sqrt（）！=gmpy.sqrt（））

对于那些一直说这是一个难题的人，请记住，使用这种方法是一个提示：费马分解算法基于一个弱点，当要分解的复合数有两个彼此接近的素因子时。如果这是一个提示，那么提出问题的实体很可能知道情况就是这样

---

编辑：显然，gmpy2.isqrt（）与gmpy.sqrt（）相同（sqrt的整数版本），而gmpy2.sqrt（）是浮点版本。

您需要避免执行太多的平方和sqrt操作，尤其是对大数

避免它们的简单方法是注意，a^2-N=b^2必须为真，所有模才能成为解。比如说,

a^2模9-N模9=b^2模9

假设你的N是55，那么N模9=1

现在考虑一组（mod 9），并将它平方，模9。 生成的^2 mod 9是集合：{0,1,4,7}。对于b^2 mod 9也必须如此

如果^2模9=0，那么0-1=8（所有模9）不是一个解，因为8不是模9的数字的平方。这消除了（mod 9）={0、3和6}

如果a^2 mod 9=1，则1-1=0（所有mod 9），因此（a mod 9）={1，8}是可能的解决方案

如果^2模9=4，则4-1=3（所有模9）不是可能的解决方案。 对于^2模块9=7，同上

所以，一个模数消除了9个可能的'a mod 9'值中的7个

你可以有很多模，每一个都至少消除了一半的可能性。 对于一组，比如说，10个模，你只需要检查1000个a中的1个是否是完美的平方，或者是否有整数平方根。（我在工作中使用了大约10000个模）

注：模是素数的幂，通常比素数更有用。 此外，模数16是一个有用的特例，因为当N mod 4为1时，“a”必须是奇数，

---

当N mod 4为3时，a必须为偶数。“证明留作学生练习。”

神圣的烟雾，这使我的功能快了8倍左右！我所要做的就是用

gmpy2.isqrt

替换

gmpy2.sqrt

，并删除

gmpy2.ceil

。非常感谢。