Algorithm 算法思维指导（4-4方程）

我最近看到了一个逻辑/数学问题，名为4-Fours，其中需要使用4-Fours和一系列运算符来创建等于所有整数0到N的方程

你将如何着手编写一个优雅的算法来提出，比如说第一个100

我从创建基本计算开始，比如4-4、4+4、4x4、4/4、4！，Sqrt 4并将这些值设为整数

然而，我意识到这将是一个蛮力方法来测试组合，看看它们是否相等，0，然后1，然后2，然后3等等

然后，我想找到所有可能的上述值的组合，检查结果是否小于100，填充一个数组，然后对其进行排序……同样效率低下，因为它可能会找到1000个大于100的数字

任何关于如何处理这样的问题的帮助都是有帮助的…不是实际的代码…而是如何思考这个问题

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谢谢

我认为暴力解决方案是唯一的出路。
这背后的原因是，每个数字都有不同的到达方式，到达某个

x

可能与到达

x+1

无关

话虽如此，通过尽可能使用明显的动作，您可能会使暴力解决方案更快一些。

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例如，如果我用“4”三次达到20（

4*4+4

），很明显达到16、24和80。持有一个100位的数组并标记达到的数字

类似于子集和问题，可以使用以下递归公式来解决：

D(0,0) = true
D(x,0) = false     x!=0
D(x,i) = D(x-4,i-1) OR D(x+4,i-1) OR D(x*4,i-1) OR D(x/4,i-1)

通过使用DP技术计算上面的数字，很容易找到使用这4个数字可以生成哪些数字，通过回溯解决方案，您可以找到每个数字是如何生成的

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此方法的优点（当使用DP实现时）是不需要多次重新计算多个值。我不确定它是否真的对4 4有效，但我相信从理论上讲，对于这个问题的一个较少限制的推广来说，它可能是一个显著的改进。

这个答案只是Amit的一个扩展。 基本上，您的操作是：

对现有表达式应用一元运算符以获取新表达式（这不使用任何额外的4s）

对两个现有表达式应用二进制运算符以获得新表达式（新表达式的4s数等于两个输入表达式之和）

对于1..4中的每个

n

，计算

表达式（n）

-如下所示的（表达式，值）对列表： （对于固定的

n

，在列表中仅存储一个计算结果为任何给定值的表达式）

使用

n

4s（即4、44、444、4444）的串联来初始化列表

对于

i

从1到

n-1

，以及每个允许的二进制运算符

op

，添加表达式（和值）

e1 op e2

，其中

e1

在

表达式（i）

中，而

e2

在

表达式（n-i）

重复将一元运算符应用于步骤1-3中迄今为止计算的表达式/值。何时停止（递归地应用3）有点模糊，如果迭代没有产生新值，当然要停止。可能会限制允许值的大小或表达式的大小 示例一元运算符是

、

Sqrt

、

-

等。示例二进制运算符为

+-*/^

等。如果允许，您可以轻松地将此方法扩展到具有更多参数的运算符

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对于任何给定的

n

，您可以在步骤3中做一些更聪明的事情，永不停止。在所有

j

的

表达式（j）

完成之前，简单方法（如上所述）不会开始计算

表达式（i）

。这要求我们知道何时停止。另一种方法是为每个

n

构建具有特定最大长度的表达式，然后如果需要（因为没有找到特定的值），可以在外部循环中扩展最大长度。

这是一个有趣的问题。这里发生了两件不同的事情。一个问题是如何描述进入算术表达式的操作和操作数序列。使用括号来建立运算顺序是相当混乱的，因此我建议将表达式看作是一组运算和操作数，比如4-4的

-4 4

，（4*4）+4的

+4*4

，（4+4）*4的

*4+4

，等等。这就像HP计算器上的反向波兰符号。这样你就不必担心括号了，当我们构建越来越大的表达式时，拥有表达式的数据结构将在下面有所帮助

现在我们转向构建表达式的算法。在我看来，动态规划在这种情况下不起作用，因为（例如）要构造一些介于0到100之间的数字，可能需要暂时超出该范围

我认为，更好的概念化问题的方法是在图上进行广度优先搜索（BFS）。从技术上讲，这个图是无限的（所有的正整数，或所有的整数，或所有的有理数，这取决于你想得到的详细程度），但在任何时候你只有一个图的有限部分。稀疏图数据结构是合适的

图上的每个节点（数字）都有一个与之相关联的权重、到达该节点所需的最小4个数，以及实现该结果的表达式。最初，您只需要从节点（4）开始，用与之相关联的数字1（用一个4表示4）和简单表达式“4”。你也可以投（44）重2，投（444）重3，投（4444）重4

要构建更大的表达式，请将所有不同的操作应用于这些初始节点。例如，一元否定、阶乘、sq