Algorithm 极稠密无向简单图的Hamilton路数

在一个非常稠密的无向简单图（大约99.99%的边是连通的）中，计算汉密尔顿路径数的最快方法（算法）是什么

我在想以下方法：

首先，计算完整图中Hamilton路径的数目

一次删除一条边，但我无法计算删除一条边会减少多少路径。另外，如何在去除边缘时防止重复计数

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我在Math.SE上遇到了一个类似的问题，但那是关于Hamilton循环而不是路径的，我希望这能显著改变这个问题。答案也不太清楚，因此这篇文章。

我不认为你能计算出汉密尔顿路径的数量 实际生成路径或单独考虑每条路径 数数的时候。对于特殊的图，比如完整的图 这当然是可能的，但不是一般的

您可以在完整的图中生成所有Hamilton路径并进行检查 如果它使用图形中的边子集，则为每个边。当然 您可以通过在运行时修剪某些分支来加快速度 生成完整图中的Hamilton路径

因为您的图非常大，所以这种方法肯定不适用 可行。但是，您可以计算中所有路径的数目 包含缺失边之一的完整图形，然后减去 这个号码

我不认为这是微不足道的。关于它的一些思考：让我们考虑一下 缺少一条边的最简单情况。我们可以描述一条路径 具有一系列边或节点。假设你的图有n 节点。图中有

n-1

缺失边的可能位置 通过完整图的hamilton路径。该边可以在中穿过 可以沿两个方向遍历与边不相邻的节点 在

（n-2）不同的订单。因此我们可以减法

2 * (n-1) * (n-2)! = 2 * (n-1)!

从通过完整图的hamilton路径总数到
获得期望的结果

如果正好缺了两条边，我们不能只减去两倍的边
数字，因为我们两次计算多条路径，即路径
包含两条边的。所以我们必须计算这个数字，然后把它加起来
再一次。但现在它变得复杂了：重要的是如何处理边缘
它们是相关的。如果它们是相邻的，则该数字将小于它的值
否则。所以一般来说，你不能只计算
包含
k
条缺失边的hamilton路径，但它是
重要信息：您正在考虑哪些边以及它们是否
相邻与否

但是假设你可以计算通过某个特定路径的路径数
选择边（所有排列、遍历方向和
路径中的位置）。让我们进一步假设
k
边是
丢失的您可以计算至少包含一条路径的路径数
对于这样的边：

分别计算通过任何
k
边的路径数
总结一下

对于每对边，您已经计算了穿过该对边的路径
两次，所以再次减去这些路径（考虑每一对
个别地）

现在考虑包含三条边的路径。他们已经
数到六次，减去三次（三对不同），所以
你必须减去它们两次
包含四条边的路径必须减去3次（因为
它们在包含3条边的路径中表示4次）。诸如此类
开

但又一次：你必须考虑每个边缘的组合。
个别地。甚至有可能某一组边是
不兼容，因为某个节点出现三次。也考虑
说明边的横穿方向
因此，没有简单的公式，但如果缺少边的数量是
非常小，你可以数路径。
如果我没有错，就有n条！完整图的路径。这难道不是一个O（n！）算法吗？我怎样才能加快速度，请说得更具体些。还有，你这里所说的“特殊图表”到底是什么意思？对于特殊图表，我指的是完整的图表（也更新了答案）。是的，复杂性是O（n！）。这只适用于较小的图形。我会考虑的。也许我能找到一个更好的解决方案。你的图会有多大，有多少边会被删除？1-2或100-200？最多可以有10^5个节点，边缘是否可能是相邻的？我想如果没有的话会容易些。你是说去掉了边吗？如果是，删除的边可以是相邻的。是的，对不起，我指的是删除的边。好的，我会考虑的。我想我必须更新我的答案，因为肯定有一种方法可以更快地做到这一点，但我还不能简明扼要地写下来。