python关于周期性的ODE求解器

我想集成一个控制问题，即dx/dt=a.f（t）形式的常微分方程，其中 x（t）是R^3中的函数，f（t）是R^4中的函数，a是矩阵3x4。在我的特例中，f（t）=f'（t），即函数f的时间导数。此外，f是1-周期的。因此，在区间[0，1]上积分ODE应该会再次产生起始位置。然而，像

scipy.integrate

中的

solve_ivp

这样的方法根本不考虑这个周期性（我已经尝试了所有可能的方法，比如

RK45、Radau、DOP853、LSODA

）

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是否有一种特殊的ODE解算器能够将这种周期性精确到很高的程度？

所有算法都会受到精度损失的影响，因此很可能永远无法实现精确的周期性。尽管如此，您也可以尝试通过使用参数“atol”和“rtol”来提高积分的精度，这将使积分误差在每个时间步保持在（atol+rtol*y）以下。您通常可以降低到atol=rtol=1e-14。

所有算法都会受到精度损失的影响，因此您很可能永远无法实现精确的周期性。尽管如此，您也可以尝试通过使用参数“atol”和“rtol”来提高积分的精度，这将使积分误差在每个时间步保持在（atol+rtol*y）以下。通常可以低至atol=rtol=1e-14。

虽然辛积分器靠近能量表面，但它们在保持表面内相位方面的精确度要低得多。检查是否有圆周运动，或者如您所述的行星运动。周期仅在方法顺序内精确。//在给定的任务中，你在哪里能认出哈密顿系统？@LutzLehmann确实，我错了。我据此编辑了我的答案，谢谢你的评论！谢谢你，实际上你必须选择尽可能低的

atol

和

rtol

。然后，以机器精度获得结果。否则，就曲线F的范数而言，有趣的是，

RK45

的误差在10E-6处达到一个平台，而

Radau

的误差在10E-8处达到一个平台。@mathology可能尝试最高阶方法“DOP853”。它的等级为8，而Radau和RK45的等级为5。这大致意味着，当时间步长非常小时，DOP853的错误

dt^3

比前面的两种方法低几倍。当使用非常低的公差（~1e-14）时，通常最好使用可能的最高阶。您可能还会在Github上找到更高阶的emthods。此外，我想知道，如果使用固定时间步长（无基于误差容差的自适应时间步长），使周期为整数个时间步长，是否可以提供更好的结果。对于显式算法（非Radau），您可以通过设置atol=rtol=1e+99（是）和“max_步长”来“破解”您的方法，通过solve_ivp强制使用固定时间步长=dt。对于隐式算法来说，这不是一个好主意，因为atol和rtol用于牛顿终止标准，当设置为如此高的值时，可能会导致不合理的行为。虽然辛积分器保持在能量曲面附近，但它们在保持曲面内的相位方面要精确得多。检查是否有圆周运动，或者如您所述的行星运动。周期仅在方法顺序内精确。//在给定的任务中，你在哪里能认出哈密顿系统？@LutzLehmann确实，我错了。我据此编辑了我的答案，谢谢你的评论！谢谢你，实际上你必须选择尽可能低的

atol

和

rtol

。然后，以机器精度获得结果。否则，就曲线F的范数而言，有趣的是，

RK45

的误差在10E-6处达到一个平台，而

Radau

的误差在10E-8处达到一个平台。@mathology可能尝试最高阶方法“DOP853”。它的等级为8，而Radau和RK45的等级为5。这大致意味着，当时间步长非常小时，DOP853的错误

dt^3

比前面的两种方法低几倍。当使用非常低的公差（~1e-14）时，通常最好使用可能的最高阶。您可能还会在Github上找到更高阶的emthods。此外，我想知道，如果使用固定时间步长（无基于误差容差的自适应时间步长），使周期为整数个时间步长，是否可以提供更好的结果。对于显式算法（非Radau），您可以通过设置atol=rtol=1e+99（是）和“max_步长”来“破解”您的方法，通过solve_ivp强制使用固定时间步长=dt。对于隐式算法，这不是一个好主意，因为atol和rtol用于牛顿终止标准，当设置为如此高的值时，可能会导致不合理的行为。请举例说明如何违反周期性？您是否设置了atol、rtol，并根据这些公差比较数值？//您是否检查了导数计算中的错误？//你能给你的问题添加一个代码示例吗（就是这样）？你能举例说明周期是如何被违反的吗？您是否设置了atol、rtol，并根据这些公差比较数值？//您是否检查了导数计算中的错误？//你能为你的问题添加一个代码示例吗？