Python 求矩阵和上特征值的Lanczos算法

我试图找到numpy矩阵的顶部

k

前导特征值（使用python点积表示法）

L@L+a*Y@Y.T

，其中L和Y分别是对称nxn和nxd矩阵

根据下面的文章，我应该能够用

L计算这些主要特征值@(L@v)+a*X@（X。T@v)

，我猜

v

是一个任意向量。他们引用的Lanczos论文是

我不太确定从哪里开始。我知道scipy有

scipy.sparse.linalg.eigsh

，从注释中可以看出它似乎使用了Lanczos算法——但我不知道是否可以在我的特定用例中使用

sparse.linalg.eigsh

。我在谷歌上搜索了一下，没有很快找到一个Python实现——有人知道我是否可以用

sparse.linalg.eigsh

来计算它吗？我绝对不想自己写这个算法

我也不确定是在

math.stackexchange

中发布还是在这里发布，因为这是一个关于Python实现一个非常数学化的东西的问题

您可以查看

将numpy作为np导入；
从scipy.sparse.linalg导入eigsh；
从numpy.linalg进口八
a=1.4
n=20；
d=7；
#随机对称nxn矩阵
L=np.random.randn（n，n）
L=L+L.T
#随机nxd矩阵
Y=np.random.randn（n，d）
A=L@L.T+A*Y@Y.T#你的方程

A必须是正定的才能使用

eigsh

，如果

A>0

，则保证为真

您可以检查四个特征值，如下所示

eigsh(La, 4)[0]

作为参考，你可以在比较的基础上计算所有的特征值。对它们进行排序，并获取排序数组的最后四个元素，结果应该是相近的

np.sort(eigh(La)[0])[-4:]

---

对，但我不想实际实例化Y@Y.T（或就此而言，L@L.T)，因为它们可以变得巨大（想想数百万行/列）。我认为

scipy.sparse.LinearOperator

是一条可行之路。这还不清楚，因此您可以从Lanczos算法的标准实现开始，您只需执行标准算法，将

a@v

替换为

L@（L@T@v）+a*Y@（Y.T@v）

那么乘法最多只能产生

nx1

大小的矩阵中间结果。