Python float_info：可以忠实表示的最大小数位数

我正在阅读属性

sys.float\u info.dig

，该属性被描述为：

可以在浮点中忠实表示的最大小数位数

此示例显示了浮点表示在以下情况下是稳定的：

import sys
s = '3.14159265358979'
format(float(s), '.15g') #Conversion float and back -> same value
>>'3.14159265358979'

对于有效位数超过15位的字符串（由

sys.float\u info.dig

推导得出），结果会出现精度错误

s = '9876543211234567'      # 16 significant digits is too many!
format(float(s), '.16g')    # conversion changes value !!
>>'9876543211234568'

那么在这种情况下，“忠实地”是什么意思？这是否意味着，如果有效数字低于sys.float\u info.dig，我们始终保证不会出现精度错误？

“忠实”仅意味着内部表示仍然可以正确区分人类希望使用该数量的数字的10^n数字。在这个特定的例子中，这意味着计算机将正确地将其每个内部值四舍五入到一个特定的、人类期望的15位数字，用于所有10^15个数字

当我们加上一个数字时，它就不能再区分所有的组合：它没有10^16位序列。在这种情况下，相邻的数字被映射到相同的位模式；在转换回时，我们不知道几个可能性中的哪一个是原始的，转换例程选择最接近二进制表示的一个

---

在任何情况下，这并不意味着没有15位精度的错误。当我们组合数字时，我们仍然可以看到许多累积误差的问题。例如，二进制不能完美地表示分数1/3。试着加1/3，比如说3000次，你会看到预期结果1000.0的累积转移，这意味着如果你有一个字符串

s

表示表单的十进制浮点

 mantissa "e" exponent

在哪里

• 尾数

  不超过15位

• float（s）

  不会溢出到无穷大，下溢到0，也不会产生低于正常值的数字

然后将

float（s）

打印到15个有效数字将产生一个字符串，表示与

s

表示的相同的数学值。这意味着对于任何大于15的整数，这种冗长的混乱并不总是正确的

关于“不产生低于正常值”部分，请注意：

>>> 3e-324
5e-324

很容易找到16位数字不起作用的示例，而且您已经找到了一个。但要证明它在15位数的情况下始终有效并不容易。有限浮点数是有理数的“块状”子集，其中可表示浮点数之间的间隔取决于大小。正确的证明通常需要查看每个可能的浮动范围，如下所示：