Python 用lu分解法求解奇异方阵的几点体会？

我有秩亏（秩=9）的奇异矩阵A（10*10）和A的范围空间中的向量b。现在我对Ax=b的一些解感兴趣。对于具体性，这里是我的A

array([[ 0.        ,  0.        ,  0.        ,  0.86826141,  0.        ,
             0.        ,  0.88788426,  0.        ,  0.4089203 ,  0.88134901],
           [ 0.        ,  0.        ,  0.46416372,  0.        ,  0.        ,
             0.        ,  0.        ,  0.        ,  0.        ,  0.        ],
           [ 0.        ,  0.        ,  0.        ,  0.        ,  0.31303966,
             0.        ,  0.        ,  0.        ,  0.        ,  0.        ],
           [ 0.        ,  0.        ,  0.        ,  0.        ,  0.        ,
             0.        ,  0.3155742 ,  0.        ,  0.64059294,  0.        ],
           [ 0.        ,  0.        ,  0.        ,  0.        ,  0.51349938,
             0.        ,  0.        ,  0.        ,  0.53593509,  0.        ],
           [ 0.        ,  0.01252787,  0.        ,  0.6870415 ,  0.        ,
             0.        ,  0.        ,  0.        ,  0.        ,  0.        ],
           [ 0.        ,  0.        ,  0.        ,  0.        ,  0.        ,
             0.        ,  0.        ,  0.        ,  0.        ,  0.        ],
           [ 0.        ,  0.        ,  0.        ,  0.16643105,  0.        ,
             0.        ,  0.        ,  0.        ,  0.        ,  0.        ],
           [ 0.08626592,  0.        ,  0.        ,  0.        ,  0.        ,
             0.        ,  0.        ,  0.        ,  0.        ,  0.66939531],
           [ 0.43694586,  0.        ,  0.        ,  0.        ,  0.        ,
             0.95941661,  0.        ,  0.52936733,  0.79687149,  0.81463887]])

b是使用

A.dot（np.ones（10））

生成的。现在我想用lu分解来解决这个问题，为此我做了如下工作

lu_fac=scipy.linalg.lu_factor(X)
scipy.linalg.lu_solve(lu_fac,b)

给

array([ nan,  nan,  nan,  nan,  nan,  nan,  nan,  nan,  nan,  nan])

此外，lu_因子在这种情况下似乎工作正常（有时它会发出运行时警告，说“对角线数%d正好为零。奇异矩阵”）。为完整起见，这里是验证lu_系数的PLU与A相同的代码：

L=np.tril(lu_fac[0])
np.fill_diagonal(L,1)
U=np.triu(lu_fac[0])
perm=np.arange(10)
ipiv=lu_factor[1]
for i in range(10):
  temp=perm[i]
  perm[i]=perm[ipiv[i]]
  perm[ipiv[i]]=temp
np.allclose(X[perm,:],L.dot(U))

现在我知道我的矩阵是奇异的，我的问题有无穷多个解。但我对任何解决方案都感兴趣，我只是搞不明白为什么lu分解失败，它不能将变量设置为0，并按照我们所教的那样找到一些解决方案吗？另外，运行时警告“对角线数%d正好为零。奇异矩阵”的处理方法是什么。注：我对解决这个问题的svd/qr方法不感兴趣，我只是想知道为什么lu对奇异矩阵不起作用。如有任何建议，我们将不胜感激。谢谢。

如前所述，矩阵具有LU分解当且仅当

秩（A11）+k>=秩（[A11 A12]）+秩（[A11 A21]）

。在您的情况下，

rank（A11）=3

，

k=5

， 和

rank（[A11 A12]）+rank（[A11 A21]）=9

。所以你的矩阵不满足条件，也没有LU分解

0 / lu_fac[0][9, 9]

返回

nan

，因为该条目（U的最后一个对角线条目）为零。因此，这个

nan

成为第9个变量的值。然后在上面的方程式中进行替换，剩下的自然也会变成

nan

。SciPy的LU代码，或者说它包装的Fortran代码，不是为秩亏矩阵设计的，因此它不会为无法确定的变量补值

另外，运行时警告“对角线数%d正好为零。奇异矩阵”的处理方法是什么

警告很明显：算法检测到奇异矩阵，这不是预期的。它还告诉您，该实现不适用于奇异矩阵

有向量b，它在A的范围空间中

这是理论上的。在实践中，由于浮点算法固有的错误，人们无法确定秩亏矩阵的范围空间中是否有任何内容。您可以计算

b=A.dot（…）

，然后尝试求解Ax=b，因为在处理浮点数时引入了错误，所以不会有解决方案

顺便说一句：您提到每个平方矩阵都存在PLU分解，但SciPy不一定是用来计算它的。比如说,

scipy.linalg.lu_factor(np.array([[0, 1], [0, 0]]))

---

返回带有NaN的矩阵。在您的情况下，NaN将在稍后出现，当您试图找到解决方案时，遇到因子U的零对角元素。

谢谢您的回答。但是lu_因子做PLU分解，这是一直存在的。我还验证了我从lu_因子得到的PLU和A是一样的，所以不是这样。做lu_解决问题时，事情失败了。再次感谢。这是否意味着对于奇异矩阵不建议使用LU？如果我理解正确，问题是不知道什么是0或接近零？非常感谢。LU用于精确求解一个系统，而用奇异矩阵来求解是错误的。这与涉及正交分解的方法相反，正交分解提供了一种基于平方和最小化的稳健方法。