Python 浮点算术错误

我用下面的函数来近似函数在某一点上的导数：

def prime_x(f, x, h):

    if not f(x+h) == f(x) and not h == 0.0: 
        return (f(x+h) - f(x)) / h
    else:
        raise PrecisionError

作为测试，我通过了

f

As

fx

和

x

As 3.0。其中，

fx

是：

def fx(x):

    import math
    return math.exp(x)*math.sin(x)

它有exp（x）*（sin（x）+cos（x））作为导数。现在，根据谷歌和我的计算器

exp（3）*（sin（3）+cos（3））=-17.050059

到目前为止还不错。但是当我决定用

h

的小值测试函数时，我得到了以下结果：

print prime_x(fx, 3.0, 10**-5)
-17.0502585578
print prime_x(fx, 3.0, 10**-10)
-17.0500591423
 print prime_x(fx, 3.0, 10**-12)
-17.0512493014
print prime_x(fx, 3.0, 10**-13)
-17.0352620898
print prime_x(fx, 3.0, 10**-16)
__main__.PrecisionError: Mantissa is 16 digits

---

为什么h减小（在某一点之后）时误差增大？我一直在期待相反的结果，直到

f（x+h）

等于

f（x）

当你减去两个几乎相同的数字时，结果的精度要比两个输入的精度低得多。这会降低整体结果的精度

假设您有以下两个数字，精确到小数点后15位：

  1.000000000000001
- 1.000000000000000
= 0.000000000000001

看看发生了什么？结果只有一个好数字。

浮点运算（以及整数运算和定点运算）具有一定的粒度：值只能按一定的步长进行更改。对于IEEE-754 64位二进制格式，步长约为该值的2–52倍（约为2.22•10–16）。这对于物理测量来说是非常小的

但是，如果将h设得非常小，则与步长相比，f（x）和f（x+h）之间的差异不是很大。差值只能是步长的整数倍

当导数为d时，f（x）的变化约为h•d。即使以浮点格式计算f（x）和f（x+h），其差值的测量值也必须是步长s的倍数，因此必须是舍入（h•d/s）•s，其中舍入（y）是y舍入到最接近的整数。很明显，当你把h变小时，h•d/s就变小了，所以把它四舍五入到一个整数的效果相对更大

---

另一种方法是，对于给定的f（x），在计算f（x）周围的值时存在一定的误差。当h变小时，f（x+h）–f（x）变小，但误差保持不变。因此，相对于h，误差会增加。

我总是觉得演示

1.0-1e-33==1.0

之类的东西很有说明性。尽管在数学上这不是

True

，但python认为这是

True

，因为没有足够的精度来表示这些数字之间的微小差异。在这种情况下，您可以使用范围广泛的

h

，它们在进行减法运算时产生相同（或非常相似）的结果。当你把这个数除以h时，你会得到不精确的结果。实际上，减去两个几乎相等的数是零误差的（假设IEEE 754）。减去两个几乎相等的数字的结果与输入具有相同的精度（有效位中的位数相同）和相同的误差（与理想数学值的差值）。唯一改变的是相对误差，这只是因为你改变了你测量的相对误差（减法的结果而不是输入）。用数值微分来看待这个问题的更好方法是f（x）和f（x+h）的精度当h很小时，不足以包含关于它们之间差异的大量信息。当计算f（x）和f（x+h）时，信息已经丢失。减法不是问题；减法过程中不会丢失任何信息。@EricPostchil，听起来你很想留下自己的答案，我邀请你这样做。我试图用尽可能简单的术语来描述这个问题，其他观点是受欢迎的。编辑：我看到你在我提出建议之前就采纳了我的建议！如果你发现自己在写：

如果不是a和不是b：做这个

否则：做那个

你通常可以写：

如果a或b：做那个

否则：做这个

，阅读不会伤害别人的大脑。@askewchan，在这种情况下，建议更好，因为你可以完全删除

否则

。如果，则在

中处理错误案例，然后在通过后处理正常案例。这不应标记为重复；数字微分引起的错误与所谓的重复问题中的错误不同。有一个完整的数学领域来研究当数值近似用于计算时会发生什么，称为数值分析。将所有数字精度问题简单地归为“浮点不准确”一类是不合理的。研究这些问题，有解决它们的方法，错误中有有趣的属性和模式，它们并不完全相同。