Python 数字幂的整数除法可以优化吗？

Python中有一个内置函数

pow

，它优化了

a**b%c

的计算。为什么没有计算a**b//c的函数

我将尝试在这里总结为什么

a**b//c

的计算不能优化，不太可能

a**b%c

先决条件：计算

a**b%c

让我们举一个示例：假设

a=2

和

b=11

。如果我们假设它相当慢，那么我们可以推断出

b=1+2+8=2**0+2**1+0*2**2+2**3

。在此之后，此推断可作为结果相乘的规则

a

，

a**2

，

a**4

，

a**8

。将前一个结果平方后指定每个结果。最后，

a**11=a*（a**2）*（a**8）

这个过程只需要3次平方运算

如果我们推广这个过程，可以这样做：

a, b, r = 2, 11 , []

while b>0:
    if b % 2: r.append(a)
    b = b//2
    a = a*a
else:
    if b % 2: r.append(a)

print(r)

输出是

r=[2,4,256]

。接下来，我们需要乘以这些乘数。可以使用functools import reduce中的

命令
reduce（lambda x，y:x*y，r）
完成此操作

最后，如果乘法器变得非常大，那么乘法器变得非常慢，因此我们需要将每个乘法器
m
替换为其模
m%c
，并在
reduce
函数中执行相同的操作。最后，我们有：

from functools import reduce
def pow(a, b, c):
    # returns a ** b % c
    r = []
    while b > 0:
        if b % 2: r.append(a)
        b = b // 2
        a = (a * a) % c
    else:
        if b % 2: r.append(a)

    return reduce(lambda x, y: (x * y) % c, r)

输出是
4
，因为
2**11%7
是
4

我也在我的电脑上测试了结果
2046457**1103207%71872
。输出为
18249
，计算耗时9秒，而
pow（204645711032071872）
立即给出相同的结果

更新：将
a**b//c
插入计算
按照上述想法，我将尝试对
a**b//c
的计算进行类似的优化。我假设平方的过程保持不变，这里的主要区别是我们需要考虑积分和残差部分，同时采取正方形（以前是容易的，因为积分部分并不重要）。如果
x
是一个不可分割的部分，而
y
是剩余部分，则我们有一个关系：


我们还需要为两个不同的乘数引入类似的计算：


我的脚本现在看起来像这样：

from functools import reduce
def pow(a, b, c):
    #returns tuple (a ** b // c,  a ** b % c)
    print(f'calculating: {a}**{b} = ', end='')
    r = []
    ir = (a//c, a%c) # we keep integral and residual part of a instead of a
    while b > 0:
        if b % 2: r.append(ir)
        b = b // 2
        ir = (ir[0]*ir[0]*c + 2*ir[0]*ir[1]+ (ir[1]*ir[1])//c, (ir[1]*ir[1]) % c)
    else:
        if b % 2: r.append(ir)
    out = reduce(lambda x, y: (c*x[0]*y[0] + x[0]*y[1] + x[1]*y[0] + (x[1] * y[1])//c, (x[1] * y[1]) % c), [(2, 2)]+[r[-1]])

    print(' * '.join(str(n[0]*c+n[1]) for n in r), end=' = ')
    print(' * '.join(str(n) for n in r),'=', out)
    return out

pow(2,7,3)

输出
笔记
为什么现在还不是呢？我们可以看到，每个因子中的第二项始终很小，但这不是第一项的规则，如本例中的
pow（26,31,35）
：

在这种情况下，我们无法避免
a%b//c
的指数增长。这就是为什么
a%b//c
没有内置函数对我来说似乎是合理的。
这不是在博客（或白皮书）上更常见吗？在这方面你似乎不需要帮助……我在这里发布了一个类似问题的变体：@Oliver.R分享知识你已经发现自我回答的目的就是要用艰难的方式。（这一特定因素的有用性可能有争议；但“其他人会面临这个问题吗”也不是常规问题的标准。）@millimoose Fair points，谢谢你的见解-mathfux我为我不必要的评论道歉！
calculating: 2**7 = 2 * 4 * 16 = (0, 2) * (1, 1) * (5, 1) = (42, 2)

calculating: 26**31 = 26 * 676 * 456976 * 208827064576 * 43608742899428874059776 = 
(0, 26) * (19, 11) * (13056, 16) * (5966487559, 11) * (1245964082840824973136, 16) = 
(89709413964539398065824, 32)