Python 利用eig实现SVD

我正在尝试使用

np.linalg.eig

方法实现SVD，用于图像压缩分配。我们不允许直接使用

np.linalg.svd

方法

以下是我的svd方法：

def svd(A):
    evals, U = LA.eig(A @ A.T)
    evals2, V = LA.eig(A.T @ A)
    idx = evals.argsort()[::-1]
    evals = evals[idx]
    U = U[:, idx]
    idx = evals2.argsort()[::-1]
    V = V[ :, idx]
    sigma = np.array(list(map(math.sqrt, evals)))
    return U, sigma, V.T

但是，当我尝试使用上述svd返回的U和V重建图像时，错误率非常高，以至于即使使用了所有奇异向量，图像也完全模糊。然而，当我用

np.linalg.svd

返回的U&V矩阵尝试相同的重建过程时，我能够清晰地重建图像

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如果我的奇异值分解方法有任何错误，请告诉我。

奇异值分解和特征向量都不是完全唯一的。在奇异值分解（SVD）中，只要对V中相应的向量进行同样的操作，就可以对U中的任何向量进行符号翻转。得到的特征向量不是以这种方式耦合的，因此符号不匹配的可能性很大。你可以通过使用以下事实来检查和纠正。T@A@V.T是sigma，所以检查U的对角线元素的符号。T@A@V.T，对于每个负向量，翻转U或V中的相应向量（但不是同时翻转）

其他建议：

由于您只需要对角线元素，因此计算完整乘积U是浪费的。T@A@V.T；只计算对角线元素的最简单方法是

np.einsum（'ij，ik，jk->j'，U，A，V）

使用

eig

而不是

eig

，因为您知道A@A.T和A。T@A它们是对称的

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您可以保存一个特征分解，因为sigma@V=U。T@Asigma是对角的，很容易倒置。这还有一个优点，就是上面的符号问题不会发生。

对于一般矩阵，奇异值分解和特征值分解不以这种方式相关。只有正规矩阵和半正定矩阵才有这种关系，显然你的图像不是这样的矩阵。有关更多信息，请参阅。根据SVD的定义实现。它适用于任何m*n实矩阵。他们提到的是EVD的一个特例。