Python 了解自适应Runge-Kutta积分器的局部截断误差

我正在实现一个RKF4（5）积分器，我不知道我的代码是否正常工作，我不理解局部截断错误，或者我的代码是否正常工作

对于代码块的大小，我深表歉意，但在本例中，最小可再现示例相当大

将numpy导入为np
def RKF45（状态，导数函数，h）：
"""
使用四阶计算和五阶误差计算下一个状态
检查
投入：
状态：函数的当前值，float
导数函数：具有状态的函数（以浮点形式给出）
并返回函数在该点的导数
h：步长，浮动
"""
k1=h*导数函数（状态）
k2=h*导数函数（状态+（k1/4））
k3=h*导数函数（状态+（k1*（3/32））+（k2*（9/32）））
k4=h*导数函数（状态+（k1*（1932/2197））+（k2*（-7200/2197））+（k3*（7296/2197）））
k5=h*导数函数（状态+（k1*（439/216））+（k2*（-8））+（k3*（3680/513））+（k4*（-845/4104）））
k6=h*导数函数（状态+（k1*（-8/27））+（k2*（2））+（k3*（-3544/2565））+（k4*（1859/4104））+（k5*（-11/40）））
y1=状态+（（25/216）*k1）+（（1408/2565）*k3）+（（2197/4101）*k4）-（1/5）*k5）
y2=状态+（（16/135）*k1）+（（6656/12825）*k3）+（（28561/56430）*k4）-（9/50）*k5）+（（2/55）*k6）
返回（y1，y2）
def integrate_RKF45（t0，tmax，tol，h_init，x_0，df，verbose=False）：
"""
积分导数为df从t0到tmax的函数
t0：开始时间
tmax：结束时间
h_init：初始时间步
x_0：起始位置
df：取x并返回函数在x处的导数的函数
"""
h=h_init
x_i=x_0
t=t0
当ttol：
h*=δ
返回（x_i）
def指数（x_0，k=1）：
"""
一个简单的测试函数，它返回输入，因此它将集成到e^x。
"""
返回（k*x_0）
如果名称=“\uuuuu main\uuuuuuuu”：
积分RKF45（t0=0）。，
tmax=0.15，
tol=1e-4，
h_init=1e-2，
x_0=1。，
df=指数，
详细=正确）

所以，这段代码的工作范围是，它返回我给它的任何函数的积分的近似值。然而，局部截断误差似乎太大了。运行上述代码将输出：

t: 0.00e+00, dt: 1.00e-02, x: 1.00e+00, err: 3.95e-06
t: 1.00e-02, dt: 1.00e-02, x: 1.01e+00, err: 3.99e-06
t: 2.00e-02, dt: 1.00e-02, x: 1.02e+00, err: 4.03e-06
t: 3.00e-02, dt: 1.00e-02, x: 1.03e+00, err: 4.07e-06
t: 4.00e-02, dt: 1.00e-02, x: 1.04e+00, err: 4.11e-06
t: 5.00e-02, dt: 1.00e-02, x: 1.05e+00, err: 4.16e-06
t: 6.00e-02, dt: 1.00e-02, x: 1.06e+00, err: 4.20e-06
t: 7.00e-02, dt: 1.00e-02, x: 1.07e+00, err: 4.24e-06
t: 8.00e-02, dt: 1.00e-02, x: 1.08e+00, err: 4.28e-06
t: 9.00e-02, dt: 1.00e-02, x: 1.09e+00, err: 4.32e-06
t: 1.00e-01, dt: 1.00e-02, x: 1.11e+00, err: 4.37e-06
t: 1.10e-01, dt: 1.00e-02, x: 1.12e+00, err: 4.41e-06
t: 1.20e-01, dt: 1.00e-02, x: 1.13e+00, err: 4.46e-06
t: 1.30e-01, dt: 1.00e-02, x: 1.14e+00, err: 4.50e-06
t: 1.40e-01, dt: 1.00e-02, x: 1.15e+00, err: 4.55e-06

其中，

err

值是四阶和五阶方法之间的差值。我的印象是，

n^th

-顺序方法的局部截断误差为顺序

O（dt^（n+1））

，这意味着上述积分应具有大约

1e-9

的误差，而不是

1e-6

那么，是我的代码错了还是我的理解错了？ 谢谢

请参见，您似乎对方法系数使用了相同的损坏源

y1中的分母4101错误，必须是4104。

增量因子应该稍微缓和一点，

delta=（tol/R）**（1/5）

或

delta=（tol/R）**（1/6）

，并应用于每个步骤，也应用于成功的步骤

本地错误的参考误差

err_i

是

tol*h

，这就是为什么在

R

中你要除以

h

然后，这将导致测试场景的无辐射迭代步骤

t:0.000000e+00，dt:1.00e-02，x:1.000000e+00，err:1.28e-13
t:1.000000e-02，dt:1.40e-01，x:1.010050e+00，误差：6.60e-08
t:1.500000e-01，dt:3.88e-01，x:1.161834e+00

或者在稍长的时间间隔内查看步长控制器的实际工作情况

t:0.000000e+00，dt:1.00e-02，x:1.000000e+00，err:1.28e-13
t:1.000000e-02，dt:2.27e-01，x:1.010050e+00，误差：7.18e-07
t:2.372490e-01，dt:4.31e-01，x:1.267757e+00，误差：2.02e-05
t:6.680839e-01，dt:4.76e-01，x:1.950509e+00，误差：5.03e-05
t:6.680839e-01，dt:4.47e-01，x:1.950509e+00，误差：3.73e-05
t:1.115525e+00，dt:3.84e-01，x:3.051213e+00，误差：2.81e-05
t:1.500000e+00，dt:3.89e-01，x:4.481769e+00

​ 所有提到的修正给出了RKF45中的新循环

而t

非常感谢！我很感激。是的，很难找到RK方法的权威来源。我发现在“错误”的确切含义以及计算下一步尺寸时应将什么值与公差进行比较，甚至delta的值都有很多分歧。实际上，@lutz lehmann，你知道RK方法的一个很好的参考吗？Haier等人关于“解算ODE”的书包含有关验证步长控制的顺序和功能的方法和测试的良好信息。最近有一些关于“基于过滤器”的方法的文献，这些方法在某种移动平均中考虑了“delta”值的历史，如中提出的。我还没有找到一个可以复制这些结果、不良行为和改进的测试场景，但它表明这是一个利基的东西