Python 笛卡尔坐标系中的二重积分，而不是（R，θ）

我以前的（）

您可以在下图中看到衍射模型：

我想计算每个像素（正方形）的强度积分，所以我不能使用R和θ作为变量。如何在X-Y坐标系下进行此操作

我们的职能：

代替sin（θ），我们可以使用：

sintheta= (np.sqrt((x)**2 + (y)**2)/(np.sqrt((x)**2 + (y)**2 + d**2)))

其他常数：

lamb=550*10**(-9)
k=2.0*np.pi/lamb
a=5.5*2.54*10**(-2)
d=2.8

当您打印函数时，结果如下所示：（上图是从顶部查看的视图）

上一主题中的方法：

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计算函数在（0.0，dist）和之后的积分*（2*np.pix），其中x=ka*np.sin（θ），但现在我想在每个像素中积分。前面的方法不起作用，因为这是X-Y坐标，不是极坐标。

实际上，笛卡尔坐标中的积分非常简单。既然有了强度函数，就必须通过坐标

x

和

y

来表示半径

r

。你在问题中实际做过的一件小事

因此，要集成的函数（没有一些常数）是：

或者使用2 J1（x）/x=J0（x）+J2（x）[谢谢，Jaime！]这一事实：

def f(x,y):
    r = np.sqrt(x**2 + y**2)
    return (sp.j0(r) + sp.jn(2,r))**2

这种形式更好，因为它在任何地方都没有奇点

现在，我不使用任何常数因子。若你们愿意的话，你们可以添加它们，但我发现在无限大的面积上用积分结果进行规范化更容易。否则就很容易忘记一些常量（我通常会忘记）

可以使用

scipy.integrate.nqad

执行集成。它接受多维函数进行积分。因此，在这种情况下：

import scipy.integrate

integral = scipy.integrate.nquad(f, ([-d/2, d/2], [-d/2, d/2]))[0]

但是，由于函数非常对称，可以考虑只在一个象限上积分，然后乘以四：

4. * scipy.integrate.nquad(f, ([0, d/2], [0, d/2]))[0]

通过使用这些，全强度为：

>>> 4. * scipy.integrate.nquad(f, [[0,inf],[0,inf]])[0]
12.565472446489999

（看起来非常像4pi，顺便说一句）当然，您也可以使用极坐标来计算完整值，因为函数具有圆对称性（如中所述）。不同的值是由于不同的标度（2π在极积分中省略，2因为我在这里使用贝塞尔函数的和形式）

例如，对于两个方向上的-1..1平方面积，平方面积上的归一化（除以上述全功率值）功率为：

>>> 4*scipy.integrate.nquad(f, [[0,1],[0,1]])[0] / 12.565472446489999
0.27011854108867

因此，大约27%的入射光照射到方形光电探测器上

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当谈到常数时，似乎缺少了一些东西（至少是单位）。我猜：

• 波长：550纳米
• 圆孔直径：0.0055“=0.14 mm
• 从孔径到传感器的距离：2.8 mm
• 方形传感器尺寸5.4微米x 5.4微米

最后一个是我刚刚从图像中猜到的。由于传感器的尺寸比距离小得多，sin（ϴ）非常接近y/d，其中d是距离和y到光轴的位移。通过使用这些数字x=ka sin（ϴ）=kay/d≈ 1.54.对于该数字，强度积分约为0.52（或52%）

如果你将其与一些实验值进行比较，请记住有许多误差源。图像平面上的图像是孔径的傅里叶变换。如果孔径边缘有小瑕疵，它们可能会改变产生的光斑。艾里环很少像天文学家认为的那样美丽

只是为了好玩：

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请你完成这个问题，让人们不必再回答任何其他问题就能理解它好吗？@pentadecagon现在有什么不清楚的地方吗？如果不是一个以原点为中心的圆盘，这次你想在哪个区域计算积分？-2.7*10**（-6）>>> 4*scipy.integrate.nquad(f, [[0,1],[0,1]])[0] / 12.565472446489999 0.27011854108867