R 具有和单位和等式约束的正权重抽样

假设我有一个正权重向量

a=（a1，a2，a3，a4）

，这样

a2=a3

和

a1+a2+a3+a4=1

。有没有办法用R对这种重量进行取样？我试着考虑使用狄里克莱分布，但它并没有给出强制两个变量相等的机制

要在整个集合中均匀采样

{（a1，a2，a3，a4 | a2=a3，a1+a2+a3+a4=1，a1>0，a2>0，a3>0，a4>0}

，我首先对

a2

的值进行采样（该值等于

a3

）要做到这一点，我们需要知道这个值的分布。如果

a2=a3=r

，那么我们有

a1+a4=1-2r

；对于正a1和a4，有一段长度

（1-2k）*sqrt（2）的线段

包含

a1

和

a4

的所有可行值。积分后，

a2

小于等于

k

的概率为

4（k-k^2）

。更详细地说：

Prob (a2 <= k) = Integral(0 to k) (1-2r)*sqrt(2) dr / Integral(0 to 0.5) (1-2r)*sqrt(2) dr
               = ((k-k^2)*sqrt(2)) / (sqrt(2)/4)
               = 4k - 4k^2

在R中，我们可以对

a2

的1000个值进行采样：

set.seed(144)
a2 <- 0.5 * (1 - sqrt(1 - runif(1000)))
a3 <- a2

指定了

a1

、

a2

和

a3

，对于

a4

，只有一个可能的值：

a4 <- 1 - a1 - a2 - a3

以下是

a1

值的分布（注意，对称性与

a4

值的分布相同）。因为我们在

[0，1-2*a2]

范围内统一选择

a1

，所以较低的值比较高的值更常见：

以下是

a2

值的分布（根据定义，这与

a3

值的分布相同）。分布的形状与

a1

的形状相似，但最大值为0.5：

我试着考虑使用Dirichlet分布

对我来说，它看起来像狄里克莱分布

但它并没有给出强制两个变量相等的机制

但你不必这样，你实际上有三个来自狄里克莱分布的变量-A，B，C，都>=0，均匀分布的U（0，1），所以A+B+C=1

采样（A、B、C）后，您只需分配

a1 = A;
a2 = B/2.0;
a3 = B/2.0;
a4 = C;

请看一下如何进行示例（用Python）

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谢谢@SeverinPapadeux。这是一个很好的观察结果。我在StackExchange中向您提出了一个疑问，因为这不是一个与代码相关的问题。您能否编辑您的答案，以说明为什么这样对空间进行均匀采样

{（a1，a2，a3，a4 | a2=a3，a1+a2+a3+a4=1，a1>0，a2>0，a3>0，a4>0}

？我已经根据我的答案和你的答案计算了随机变量，它们具有不同的分布（例如，变量对之间的相关性不同）@josilber

我已经根据我的答案和你的答案计算了随机变量，它们有不同的分布。它们可能是。我相信我们有一个n=3的狄里克莱分布的例子。狄里克莱分布的性质是x_I在[0…1]之内，和（x_I）=1，但也由\alpha_i参数化。最简单的情况是，在我的python代码中，所有\alpha_i=1。我懒得检查，但如果您使用不同的\alpha_i（\alpha_i=0.5？）构建Dirichlet分布，我不会感到惊讶。在这种情况下，您的解决方案是一个令人满意的答案（和我的一样）
我相信我们有一个n=3迪里克莱分布的例子。
你能说说为什么你会相信吗？我不知道这个集合是否是迪里克莱分布（我不清楚为什么会是这样），但我很确定它不是一个Dirichlet分布，所有变量的alpha_I=1，正如你目前在回答中所建议的那样。你能提供一些数学推理来解释为什么你认为它是Dirichlet分布的吗？你假设
a2
的pdf与包含所有可能va的线段长度成比例
a1
和
a4
的值，即
（1-2a_2）sqrt（2）
。正确吗？随着线段长度的增加，a_2的值应该减小。
a4 <- 1 - a1 - a2 - a3

head(cbind(a1, a2, a2, a4))
#              a1         a2         a2         a4
# [1,] 0.83455239 0.01251016 0.01251016 0.14042729
# [2,] 0.02744599 0.22932773 0.22932773 0.51389856
# [3,] 0.45835472 0.23860119 0.23860119 0.06444291
# [4,] 0.36843649 0.14679703 0.14679703 0.33796946
# [5,] 0.35109881 0.08702039 0.08702039 0.47486041
# [6,] 0.02916818 0.19942616 0.19942616 0.57197949

a1 = A;
a2 = B/2.0;
a3 = B/2.0;
a4 = C;