Signal processing 为什么在时域和频域执行卷积时，卷积结果的长度不同？

我不是DSP专家，但我知道有两种方法可以将离散时域滤波器应用于离散时域波形。第一种方法是在时域卷积，第二种方法是对两者进行FFT，将两个复频谱相乘，然后对结果进行IFFT。这些方法的一个关键区别是第二种方法是循环卷积

例如，如果滤波器和波形均为N点长，则第一种方法（即卷积）产生的结果为N+N-1点长，其中该响应的前半部分为滤波器填充，后半部分为滤波器清空。为了获得稳态响应，滤波器需要比要滤波的波形具有更少的点

使用第二种方法继续此示例，并假设离散时域波形数据都是真实的（不复杂），则滤波器的FFT和波形都会产生N个点长的FFT。将两个光谱相乘，得出一个时域结果，该结果也有N个点长。在这里，过滤器填充和清空的响应在时域中相互重叠，没有稳态响应。这是循环卷积的效果。为了避免这种情况，通常滤波器尺寸将小于波形尺寸，并且两者都将进行零填充，以允许在两个频谱乘积的IFFT之后，频率卷积在时间上扩展的空间

我的问题是，我经常在文献中看到知名专家/公司的工作，他们有一个离散（实时）时域波形（N点），他们对其进行FFT，将其乘以一些滤波器（也是N点），并将结果IFFT用于后续处理。我的天真想法是，这个结果不应该包含稳态响应，因此应该包含来自过滤器填充/清空的工件，这将导致解释结果数据时出现错误，但我肯定遗漏了什么。在什么情况下，这是一种有效的方法

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尽管假设数据的矩形窗口在FFT孔径宽度处是周期性的，这是在没有足够的零填充的情况下圆卷积的一种解释，但会产生伪影，但任何见解都将受到极大的赞赏，差异可能大，也可能小到足以淹没所讨论的数据分析。

基本问题不是零填充与假定的周期性，而是傅里叶分析将信号分解为正弦波，在最基本的层面上，假定其范围是无限的这两种方法都是正确的，因为使用全FFT的IFFT将返回准确的输入波形，这两种方法都是错误的，因为使用少于全频谱的IFFT会导致边缘效应（通常延伸几个波长）。唯一的区别在于你假设的细节填充了无限的其余部分，而不是你是否在做假设

回到你的第一段：通常，在DSP中，我遇到的FFT最大的问题是它们是非因果的，因此我通常更喜欢停留在时域中，使用FIR和IIR滤波器

更新：

在问题陈述中，OP正确地指出了使用FFT过滤信号时可能出现的一些问题，例如边缘效应，当进行长度（时域）与采样波形相当的卷积时，这些问题可能特别有问题。值得注意的是，并不是所有的滤波都是使用FFT完成的，在OP引用的论文中，他们没有使用FFT滤波器，并且FFT滤波器实现中出现的问题也不会使用他们的方法

例如，考虑一个过滤器，它使用两种不同的实现对128个采样点进行简单平均

FFT：在FFT/卷积方法中，一个样本（例如）为256个点，并将其与wfm进行卷积，wfm在前半部分为常数，在后半部分变为零。这里的问题是（即使在这个系统运行了几个周期之后），什么决定了结果的第一个点的值？FFT假设wfm是循环的（即无限周期的），因此：结果的第一点由wfm的最后127个（即未来）样本确定（跳过wfm的中间），或者由127个零确定（如果进行调零）。两者都不正确

FIR：另一种方法是使用FIR滤波器实现平均值。例如，这里可以使用128寄存器FIFO队列中的值的平均值。也就是说，当每个采样点进入时，1）将其放入队列，2）将最旧的项目退出队列，3）平均队列中剩余的128个项目；这是你对这个样本点的结果。这种方法连续运行，一次处理一个点，并在每次采样后返回滤波结果，并且没有FFT应用于有限样本块时出现的任何问题。每个结果只是当前样本和之前127个样本的平均值

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OP引用的论文采用的方法比FFT滤波器更类似于FIR滤波器（请注意，尽管论文中的滤波器更复杂，整个论文基本上都是对该滤波器的分析）。例如，参见，其中描述了如何分析和应用不同的滤波器，还要注意的是，分析FIR和IIR滤波器的拉普拉斯方法与引用的论文中的方法非常相似。

我可以解释为什么在应用FFT之前应用“加窗”

正如已经指出的，FFT假设我们有一个无限的信号。当我们拿样品过来的时候

f = rand(32); g = rand(128)
h1 = convolve(f, g)
h2 = real(ifft(fft(f, 128)*fft(g)))
plot(h1); plot(h2,'r')
grid()

N = 150000                    # number of samples. Need >50k to get a good spectrum. 
res = 100e6/N                 # resolution of single freq point  
f = res * arange(-N/2, N/2)   # set the frequency sweep [-50MHz,50MHz), N points
s = 2j*pi*f                   # set the xfer function to complex radians 

f1 = 22e6       # define 3dB corner frequency for H1 
zeta1 = 0.54    # define peaking for H1 
f2 = 7e6        # define 3dB corner frequency for H2 
zeta2 = 0.54    # define peaking for H2    
f3 = 1.0e6      # define 3dB corner frequency for H3 

# w1 = natural frequency   
w1 = 2*pi*f1/((1 + 2*zeta1**2 + ((1 + 2*zeta1**2)**2 + 1)**0.5)**0.5)  
# H1 transfer function 
H1 = ((2*zeta1*w1*s + w1**2)/(s**2 + 2*zeta1*w1*s + w1**2))            

# w2 = natural frequency 
w2 = 2*pi*f2/((1 + 2*zeta2**2 + ((1 + 2*zeta2**2)**2 + 1)**0.5)**0.5)  
# H2 transfer function  
H2 = ((2*zeta2*w2*s + w2**2)/(s**2 + 2*zeta2*w2*s + w2**2))            

w3 = 2*pi*f3        # w3 = 3dB point for a single pole high pass function. 
H3 = s/(s+w3)       # the H3 xfer function is a high pass

Ht = 2*(H1-H2)*H3   # Final transfer based on the difference functions

subplot(311); plot(f, abs(Ht)); ylabel("abs")
subplot(312); plot(f, real(Ht)); ylabel("real")
subplot(313); plot(f, imag(Ht)); ylabel("imag")