如何在SML中使用加法函数和迭代函数生成乘法函数

我在SML中有两个函数，

add

和

iterate

fun add（x，y）=x+y
fun iterate n f x=如果n>0，则迭代（n-1）f（f x）else x；

仅使用这两个函数，如何编写

乘法

函数，例如，如果键入：

multiply 5 6

返回30

在此基础上，我需要一个名为

power

的函数，它只使用

iterate

和

multiply

将第一个参数提升为第二个参数的幂。例如：

power 5 4

它应该返回625

---

任何帮助都将不胜感激

所以诀窍是使用

迭代

来帮助您递归地应用

添加

。由于

iterate

是一个以函数为参数的列表组合器，如果您以非常简单的方式进行操作，可能会更简单：例如，您可以通过递归递增/递减1来定义

add

：

(* Written using if-then-else *)
fun add x y =
    if y = 0 then x else
    if y > 0 then add (x+1) (y-1) else add (x-1) (y+1)

(* Written using mixture of pattern-matching and if-then-else *)
fun add x 0 = x
  | add x y = if y > 0
              then add (x+1) (y-1)
              else add (x-1) (y+1)

现在，这当然是非常低效和完全没有必要的，因为我们已经有了

+

，但是为了演示数字的递归，这是一个如何使用

乘法和
幂
的例子（仍然假设我们还没有
迭代
）

这里的一般方法是递归：因为函数需要两个操作数，所以使用一个作为“累加结果”，另一个作为“计数变量”。因为这是一个简单的问题，所以您可以使用
x
和
y
作为函数任务的完整环境。在稍微大一点的问题中，您可能会引入更多作为临时/中间结果的参数

您可以用非常类似的方式编写
乘法
：

fun multiply x 0 = 0
  | multiply x y = if y > 0
                   then  x + multiply x (y-1)
                   else ~x + multiply x (y+1)

此函数用于解决任务（尽管仍然没有迭代）

（这个
乘法
不是尾部递归的，因为最外层的表达式（
x+…
或
~x+…
）不是对
乘法
的调用（因为调用发生在
+
的操作数内部）。这对您来说可能不是问题，但如果是，您就无法轻松编写
…然后乘法（x+…）（y-1）
，因为当我们使用
x
来累加结果时，任何后续递归调用都会增加
x
，这意味着我们不能再将
x
添加到…本身…因为
x
现在意味着两件事：累加结果和每次递归调用需要添加一次的内容。）

无论如何，要完成最后一步，您必须确定
iterate
与我制作的
add
和
multiply
有什么共同之处。当您能够发现公共分母时，您可以将其隔离并调用
iterate
。我想修复一个可能会混淆您对
迭代的解释的空白“bug”：

fun iterate n f x = if n > 0
                    then iterate (n-1) f (f x)
                    else x;          (* ^- this space! *)

添加此空格不会改变函数的行为，但是当读取
f（f x）
时，人们会倾向于相信它说“将
f
应用到
f x
”，这是错误的解释。在
下，这个函数实际上说的是“调用
迭代
，有三个参数：
n-1
，
f
和
fx
；因为
n-1
绑定比函数应用程序更紧密，
fx
是函数应用程序（左关联），我们在其周围添加括号；这对于
f
不是必需的

在
add
和
multiply
中，
y
被用作计数变量，而在
iterate
中则是
n
。因此名称和位置发生了变化，这意味着基于
iterate
的
multiply
必须将
x
和
y
放在正确的位置。至于确定
f
的值：将
x
添加到其结果中的函数如何？您可以使用lambda、
（fn z=>…）
来表示此函数，也可以使用函数的部分应用程序
add

最后，使用
power
时，问题大致相同：

fun power x 0 = 1
  | power x n = if n > 0
                then x * power x (n-1)
                else raise Fail "Cannot express 1/x^n as integer"

由于整数没有一个好的解决方案，您必须切换到实数类型以表示1/x^n，也可以在开始递归之前翻转条件并从图片中获取
n<0
的情况：

fun power x n =
    if n < 0 then raise Fail "Cannot express 1/x^n as integer"
    else let fun go result 0 = result
               | go result i = go (result * x) (i-1)
         in go 1 n
         end

fun power x n=
如果n<0，则raise Fail“无法将1/x^n表示为整数”
否则让乐趣消失结果0=结果
|通过结果i=通过（结果*x）（i-1）
围棋1N
结束

内部函数
go
看起来非常像上面的
add
，除了
x
变成了
result
，
1
变成了
add
，
+
变成了
*
，没有否定的情况（
如果y>0…否则…
）

因此，这意味着您实际上可以使用
iterate
而不是
go
，只要您为
iterate n f x
找到好的值：


n
应该是什么？（倒计时。）
f
应该是什么？（执行逐步计算的东西。）
x
应该是什么？（逐步计算中应用的内容。）

（…所有的
迭代
；在
power
函数及其作用域中的参数的上下文中，它们可能被称为其他名称。）
非常感谢！我是SML的新员工，在语法上我是个铁杆。