String 计算不带循环或递归的字符串的所有子字符串中的字符总数

类似于

ADAM

的字符串具有以下子字符串

A
AD
ADA
ADAM
D
DA
DAM
A
AM
M

要计算子字符串的总数，我可以执行如下的O（1）操作

ADAM->10

function calcNumSubstrings(strlen) {
  return (strlen * (strlen + 1) / 2);
}

我需要的是所有这些子字符串中所有字符的总和。在

ADAM

的情况下，这是

20

。为了得到这个，我可以做一个O（N）操作，如下所示：

function calcTotalLettersInAllSubstrings(strlen) {
  let total = 0;
  for (let i = 1; i <= strlen; i++) {
    total += calcNumSubstrings(i);
  }
  return total;
}

函数calctotallettersinallsubstring（strlen）{
设total=0；
对于（设i=1；i一般情况为：
n*（n+1）*（n+2）/6

其中
n
是字符串中的字符数

所以在这种情况下，字符数是4：
4*（4+1）*（4+2）/6=20
一般情况是：
n*（n+1）*（n+2）/6

其中
n
是字符串中的字符数

因此，在本例中，字符数为4:
4*（4+1）*（4+2）/6=20
只要做一些数学运算。让n为字符串的长度，让sum（expr）为给定表达式的r=1到r=n的和，那么对于给定的子字符串长度r，您有（n+1-r）个可能的子字符串，因此：

sum(r(n+1-r)) = (n+1)sum(r) - sum(r^2)

现在参考标准级数和，它给出：

sum(r) = n(n+1)/2 

sum(r^2) = n(n+1)(2n+1)/6

因此：

sum(r(n+1-r)) = n(n+1)^2 / 2 - n(n+1)(2n+1)

检查n=4

sum(r(5-r)) = 50 - 30 = 20

简化此表达式可得到：

sum(r(n+1-r)) = n(n+1)/2( (n+1) - (2n+1)/3)
              = n(n+1)/6( 3n+3 -2n -1)
              = n(n+1)(n+2)/6

如上所述，只需做一些数学运算。设n为字符串的长度，设sum（expr）为给定表达式的r=1到r=n的和，则对于给定的子字符串长度r，您有（n+1-r）个可能的子字符串，因此：

sum(r(n+1-r)) = (n+1)sum(r) - sum(r^2)

现在参考标准级数和，它给出：

sum(r) = n(n+1)/2 

sum(r^2) = n(n+1)(2n+1)/6

因此：

sum(r(n+1-r)) = n(n+1)^2 / 2 - n(n+1)(2n+1)

检查n=4

sum(r(5-r)) = 50 - 30 = 20

简化此表达式可得到：

sum(r(n+1-r)) = n(n+1)/2( (n+1) - (2n+1)/3)
              = n(n+1)/6( 3n+3 -2n -1)
              = n(n+1)(n+2)/6

如上所述
@WaldoBronchart，别忘了标记为已回答！：）老实说，我知道足够多的代数知识，可以将每个块内的除以2简化为外部块上的一个除法-之后，我只是快速查找这些项的序列是如何求和的！接受@4thamigo_uk的答案，因为它涉及到“级数和”的一般问题。谢谢你的帮助。@WaldoBronchart，没问题。我想这是英国第四大商学院应得的！：）@WaldoBronchart，别忘了按回答做标记！：）说实话，我知道足够多的代数知识，可以将每个块内的除2简化为外部块上的一个除-之后，我很快就查到了序列是如何计算的这些术语的数量是总和！接受了@4thamigo_-uk的答案，因为它涉及到“级数之和”的一般问题。谢谢你的帮助。@WaldoBronchart，没问题。我认为4thamigo_-uk赢得了它！：）