Time complexity 几何级数平方和的复杂性

我的数据结构课程作业中有一个问题，我想到了两个算法来解决这个问题，一个是O（n^2）时间，另一个是：

T（n）=3*n+1*1+2*2+4*4+8*8+16*16+…+logn*logn

我不确定哪一个更好

我知道从1到logn的几何级数之和是O（logn），因为我可以使用几何级数公式。但这里有几何级数的平方，我不知道如何计算。

你可以将其改写为：

log n * log n + ((log n) / 2) * ((log n) / 2) + ((log n) / 4) * ((log n) / 4) ... + 1

如果用

x

替换（为了更容易理解）

log^2 n

，您将得到：

x + x/4 + x/16 + x/64 + ... + 1

你可以用公式来求级数的和，但是如果你不需要形式化，那么基本的逻辑就足够了。想象一下，你有1/4的馅饼，然后加上1/16的馅饼和1/64的馅饼，你可以清楚地看到，它永远不会到达整块，因此：

x + x/4 + x/16 + x/64 + ... + 1 < 2x

T(n) = O(3*n + log^2 n) = O(n)