Types 我们如何在Agda中定义一种对称二进制操作？

我不明白我们如何在Agda中定义一种“对称二元关系”。想象一下我有这样的东西：

{-
首先，我们定义一个多态idenity
-}
数据{A:Set}（A:A）：A→ 设定地点
idenity的定义：a==a
中缀30_==_
{-
接下来我们定义有限集Ω={A，B，C}
-}
数据：设置位置
A、B、C：Ω
{-
我们添加了一个类型“二进制操作”
-}
二进制运算=Ω→ Ω → Ω
{-
我可以定义一个二进制操作的例子。
-}
_⊙_ : 二进制运算
x⊙ x'=A
中缀40_⊙_
{-
然后我可以证明这一点⊙ 对称的
-}
对称性证明：∀ xy→ x⊙ y==y⊙ x
对称性证明=λx y→ 同一性的定义

如何定义“对称二进制操作”类型？ 有了这种类型，我们将能够定义⊙ 作为

_⊙_ : 对称二次运算
x⊙ y=A

---

并证明⊙ 不需要对称。

详细说明我的评论：即使有检查对称性的决策过程，也无法根据您的需要定义

symmetricbinaryooperation

，因为

symmetricbinaryooperation

必须对所定义的操作进行

对称性证明。也就是说，操作必须在自己的类型签名中提及自己，这显然是一个循环。（因此我关于类型类的观点也是毫无意义的）。
你不能只说，
_⊙_
是对称的，但实际上没有提供这一事实的证明。因此，无法定义
_⊙_作为<代码>_⊙_ : 对称二次运算；x⊙ y=A
，除非使用类型类。定义关系的通常方法是将操作与记录中的证明打包。您可以在标准库中找到示例。还可以查看教程。纸张是有指导意义的。@user3237465所以，在大多数情况下，记录比数据更好。这与Haskell的
newtype
s和
data
s之间的区别非常相似。Agda还制定了eta法规，用于记录和执行复杂的操作。如前所述，您很少不希望有eta，但现在链接中的示例已被弃用，我不知道还有其他示例。我的问题还与所谓的“子类型”有关，这在Agda中是不可能的（如果我的uderstood正确）。例如，Francesco使用了表示“有序列表”的类型Olist，但他也使用了恼人的协同功能“toList:∀ {lu}→ 奥利斯特l u→ 列表X”从列表转换为列表。Agda通过实例参数有一些子类型（例如，在
liftA
函数中，
Applicative
在作用域中，而
\uuu
需要
Functor
）。但你的意思可能是，Agda中确实没有介绍。谢谢。我还找到了@cody's来回答Steve先生的问题。Cody谈到“精化类型（它）捕获了契约的概念，也与公理语义或霍尔逻辑有关”。谢尔盖·柯尔吉佐夫（Sergey Kirgizov），元语言的证明方法导致了原力的黑暗面。