Types 函数返回子集类型的Coq案例分析与重写

我正在做的是一个关于使用子集类型编写认证函数的简单练习。其思想是首先编写一个前置函数

pred : forall  (n : {n : nat | n > 0}), {m : nat | S m = n.1}.

然后用这个定义给出一个函数

pred2 : forall (n : {n : nat | n > 1}), {m : nat | S (S m) = n.1}.

我对第一个没问题。这是我的密码

Program Definition pred (n : {n : nat | n > 0}) : {m : nat | S m = n.1} :=
  match n with
  | O => _
  | S n' => n'
  end.
Next Obligation. elimtype False. compute in H. inversion H. Qed.

但我无法确定第二个定义。我试图写下这些定义

Program Definition pred2 (n : {n : nat | n > 1}) : {m : nat | S (S m) = n.1} 
:= pred (pred n).

我设法证明了这两项首要义务

Next Obligation. apply (gt_trans n 1 0). assumption. auto. Qed.
Next Obligation. 
  destruct pred.  
  simpl.
  simpl in e. 
  rewrite <- e in H.
  apply gt_S_n in H; assumption.
Qed.

---

我知道我可以直接编写pred2，但是我的想法是使用和编写函数pred。

原因

destruct

没有任何效果，可能是因为您试图对其进行案例分析的内容没有在目标中发生。该术语的隐式参数可能与目标中该术语的隐式参数不匹配。无论哪种方式，你都无法在不将目标输入错误的情况下对该术语进行案例分析

但您可以通过对

n

的案例分析来证明这一义务

Next Obligation.
destruct n.
inversion H.
destruct n.
inversion H.
subst.
inversion H1.
cbn.
eauto.
Qed.

我还能够证明一些helper定理，但由于所有类型依赖性，我无法使用它们

Theorem T1 : forall s1, S (` (pred s1)) = ` s1.
Proof. intros [[| n1] H1]. inversion H1. cbn. eauto. Qed.

Theorem T2 : forall T1 (P1 : T1 -> Prop) s1 H1, (forall x1 (H1 H2 : P1 x1), H1 = H2) -> exist P1 (` s1) H1 = s1.
Proof. intros ? ? [x1 H1] H2 H3. cbn in *. rewrite (H3 _ H1 H2). eauto. Qed.

---

我从未在函数上使用过

destruct

。我很惊讶Coq没有抱怨这个函数不是归纳定义的。

我对你那里的练习集感兴趣。他们可以在网上的某个地方找到吗？你能发布一个链接或谷歌搜索词吗？我正在做这个练习，谢谢。我认为在n上做案例分析是一个更好的方法。然而，我仍然不明白为什么我的aproach不起作用。在函数上使用析构函数时，它会在函数的返回值中进行案例分析。当我使用refine“definitionpred2（n:{n:nat|n>1}）：{m:nat|S（sm）=n.1}.refine（（pred（（pred（n.1；））.1；)））.1；)）定义函数时，它工作得非常好。这是我使用的证明。“destruct n.apply（gt_trans x 10）、假设、自动破坏、e中的destruct pred.siml.siml.重写@NicoLehmann结论中的术语

pred（n；pred2_义务_1（n；H））

和术语

pred（n；pred2_义务_1（n；H））

你试图解构的是不同的。要看到这一点，请关闭所有符号。结论中的术语涉及

gt

，而你试图解构的术语涉及

lt

。无论如何，你都不能解构它，因为

pred2\u 2（n；H）

取决于它。谢谢，现在我明白了：-）

Theorem T1 : forall s1, S (` (pred s1)) = ` s1.
Proof. intros [[| n1] H1]. inversion H1. cbn. eauto. Qed.

Theorem T2 : forall T1 (P1 : T1 -> Prop) s1 H1, (forall x1 (H1 H2 : P1 x1), H1 = H2) -> exist P1 (` s1) H1 = s1.
Proof. intros ? ? [x1 H1] H2 H3. cbn in *. rewrite (H3 _ H1 H2). eauto. Qed.