Vector 基于法线的旋转向量

给定左手坐标系中由XZ平面定义的半球表面上的一组点：

给定一个平面的法向量，该平面定义了另一个任意半球：

如何定义旋转矩阵，使我能够将第一半球的每个点（向量）转换为第二半球的对应点

---

如果可能，使用球坐标N作为旋转角度的旋转矩阵会很方便，其中$\theta$是从$0$到$\pi$（直观地从Y到-Y）的极角，$\phi$是从$0$到$2\pi$（从X回到X穿过+Z，-X，-Z）的方位角.

建立旋转矩阵的第一步是定义绕单轴旋转的（3）顺序。在您的情况下，对于2个角度，2次旋转就足够了（对于φ和θ）

我总是提到 对于phi和θ的使用，我可能是错的（关于你的约定），但我尽量说清楚

我个人的顺序可能是：首先，在[0,2pi]中围绕Y轴旋转一个角度φ，假设N与Y平行，将“旧”X和Z轴与“新”轴对齐。 然后围绕“新=已旋转”Z轴旋转角度θ，使“新”Y轴沿N

那么，让我们构建我们的矩阵。围绕Y的旋转具有此结构（我使用；为了断开线，R始终为3x3）

从旧系统到新系统的完全旋转是两个矩阵的乘积，记住哪一个先出现

R = R_z*R_y

事实上，我们希望在旧系统中转换一组三维坐标a，因此：

b = R*a = R_z*R_y*a = R_z*(R_y*a)   

---

得到新的坐标b

你知道有无限多的解吗？你需要一个切线向量来得到唯一的解。如果你在一个网格上，也许你可以将切线和双切线与u和v方向对齐。如果我不需要一个特定的解决方案，而是一个正确的解决方案，不管是哪一个呢？

b = R*a = R_z*R_y*a = R_z*(R_y*a)