Agda 如何证明相同的函数类型具有相同的域？

我想证明

∀ {ℓ} {A B C D : Set ℓ} → (A → B) ≡ (C → D) → A ≡ C

（与编码域类似）

如果我有一个返回函数类型域的函数

domain

，我可以将证明写成

cong domain

但我认为不可能编写这样的函数

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有什么办法可以做到这一点吗？

几个月前，我在Agda邮件列表上提出了一个非常类似的问题，请参见：。简而言之，你无法在Agda中证明这一点

技术原因是Agda内部用于模式匹配的统一算法不包括形式

（a）的问题→ （B）≡ （C）→ D） 

，因此此定义不进行类型检查：

cong-domain : ∀ {ℓ} {A B C D : Set ℓ} → (A → B) ≡ (C → D) → A ≡ C
cong-domain refl = refl

也不可能直接定义函数

域

。想想看：不是函数类型的类型的域应该是什么，例如

Bool

你不能证明这一点的更深层次的原因是，它与同伦类型理论中的单价公理不相容。在Guillaume Brunerie在我的邮件中给出的一个答案中，他给出了下面的例子：考虑两种类型：代码>布尔-> BOOL 和<代码>单元>（BOOL+BOOL）< /代码>。两者都有4个元素，因此我们可以使用单价公理来证明类型

Bool->Bool≡ 单元->（Bool+Bool）

（事实上有24种不同的证明）。但显然我们不想要

Bool≡ 单位

！因此，在存在单价的情况下，我们不能假设相同的函数类型具有相同的域

最后，我通过传递一个类型为

A的额外参数来“解决”这个问题≡ C

任何需要它的地方。我知道这并不理想，但也许你也可以这样做

我还应该注意，Agda确实包含一个内射类型构造函数的选项，您可以通过将

{-#OPTIONS--injective类型构造函数#-}

放在.Agda文件的顶部来启用该选项。例如，这允许您证明

A≡ B
来自
列表A≡ 列表B
，但不幸的是，这只适用于类型构造函数，如
List
，而不适用于函数类型

当然，您可以随时在请求向Agda添加选项
--内射函数类型。此选项与单价不兼容，但
--内射类型构造函数也不兼容，但对于许多应用程序来说，这不是一个真正的问题。我觉得Agda的主要开发人员通常对此类请求非常开放，并且很快就可以将它们添加到Agda的开发版本中。
下面是一个不兼容的示例：