Algorithm 求固定n模m的前r个二项式系数之和的算法

我试图找到固定n的第一个r二项式系数之和

（nC1+nC2+nC3+…+nCr）%M 其中r<=n

有没有有效的算法来解决这个问题？

注意，固定

n

的“第一”二项式系数是

nC0

。 设

f（n）=nC0+nC1+…+nC（r-1）

。 使用“帕斯卡三角形”恒等式，

nCk=（n-1）C（k-1）+（n-1）Ck

我们有 等等

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要执行mod m计算，您需要预先计算二项式系数

（n-1）C（r-1）mod m

。如果

m

是素数，则二项式系数

mod m

是循环的

m^k

（

m

的幂大于

r-1

）。如果

m

是素数的幂，结果就相当复杂。（参见。）如果m有一个以上的素因子，则可以使用中国剩余定理将计算简化为以前的情况

我的第一个答案不令人满意，原因有几个，其中一个是我引用的论文很难理解和实施。因此，我将为下面的问题提出一个不同的解决方案

我们想计算固定n，

nC0+nC1+…+的前r个二项式系数之和nC（r-1）

，模M。与其通过减少n来减少

nCk

的计算，不如减少k：我们需要

nC（k-1）

已经作为总和的一部分；此外，我们可能有r远小于n，因此通过增加n来获取值的效率可能远远低于增加r

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这里的想法是：首先注意，如果r>n/2，我们有

nC0+…+nC（r-1）=2^n-（nCr+…+nCn）=2^n-（nC0+…+nC（n-r））

其中n-rnC0，

nC1

，

nC2

，…，

nCr

mod

M

，然后将它们相加？为什么要费劲定义和使用

f（n）

？是的，我完全同意，我也有同样的想法。然而，我提到的这篇论文并不是很容易翻译成代码的，所以我一直在试图想出一种方法来解决这个问题，而不是使用这篇论文的结果。我想我有一个解决办法：最好从三角形的边缘开始，而不是从三角形的顶部开始。我很快会提交另一个答案。Re：“无论如何，算法现在是O（r）”：你能详细说明一下吗？你所描述的计算对我来说似乎不明显。 nC0 + nC1 + nC2 + ... + nC(r-1) = (n-1)C(-1) + (n-1)C0 + (n-1)C0 + (n-1)C1 + (n-1)C1 + (n-1)C2 + ... + (n-1)C(r-2) + (n-1)C(r-1) = 2[(n-1)C0 + (n-1)C1 + (n-1)C2 + ... + (n-1)C(r-2)] + (n-1)C(r-1) = 2[(n-1)C0 + ... + (n-1)C(r-1)] - (n-1)C(r-1), f(0) = 1, f(1) = 1 + 1 = 2 = 2f(0) - 0C2, f(2) = 1 + 2 + 1 = 4 = 2f(1) - 1C2, f(3) = 1 + 3 + 3 = 7 = 2f(2) - 2C2, f(4) = 1 + 4 + 6 = 11 = 2f(3) - 3C2, f(5) = 1 + 5 + 10 = 16 = 2f(4) - 4C2,

nCk = n!/(k!(n-k)!) = n!/((k-1)!(n-(k-1)!) x (n-k+1)/k = nC(k-1) x (n-k+1)/k

sum = 0;
nCi = 1; // i=0
for i = 1 to r-1
  sum += nCi;
  nCi *= (n-k+1);
  nCi /= k;
sum %= M;