Algorithm 用BFS求加权图

我正在修改单源最短路径算法，在视频中，老师提到，BFS/DFS不能直接用于在加权图中查找最短路径（我想大家都知道了），并说要自己找出原因

我想知道它不能用于加权图的确切原因/解释。是因为边缘的重量还是其他原因？我有点困惑，有人能解释一下吗

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PS：我问了一个又一个问题

考虑这样一个图：

A---(3)-----B
|           |
\-(1)-C--(1)/

A-(4)-B

从A到B的最短路径是通过C（总重量为2）。正常BFS将直接从A到B，如图所示标记B，以及从A到C，如图所示标记C

在下一阶段，从C传播，B已标记为可见，因此从C到B的路径不会被视为潜在的较短路径，BFS将告诉您从a到B的最短路径的权重为3

可以使用代替BFS在加权图上查找最短路径。在功能上，该算法非常类似于BFS，并且可以用类似于BFS的方式编写。唯一改变的是你考虑节点的顺序。

例如，在上图中，从A开始，BFS将处理A-->B，然后处理A-->C，并在此处停止，因为已看到所有节点

另一方面，Dijkstra算法的操作如下：

考虑-->C（因为这是A的最低边权重）

考虑C-->B（因为这是我们到目前为止到达的任何节点的最小权重边，我们尚未考虑）

考虑并忽略-->B，因为已经看到了B

请注意，区别仅在于检查边缘的顺序。BFS将考虑单个节点在移动到其他节点之前的所有边，而Dijkstra的算法将总是考虑最低的权重<强>未被看见的< /强>边，从连接到<强>所有已经看到的节点<的边。这听起来令人困惑，但伪代码非常简单：

create a heap or priority queue
place the starting node in the heap
dist[2...n] = {∞}
dist[1] = 0
while the heap contains items:
   vertex v = top of heap
   pop top of heap
   for each vertex u connected to v:
       if dist[u] > dist[v] + weight of v-->u:
           dist[u] = dist[v] + weight of edge v-->u
           place u on the heap with weight dist[u]

来自维基百科的GIF提供了一个很好的可视化效果：

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请注意，这看起来与BFS代码非常相似，唯一真正的区别是使用堆，按到节点的距离排序，而不是使用常规队列数据结构

虽然这是正确的，但您可以在加权图中使用

BFS/DFS

，只需在图中稍作更改，如果图形的权重为正整数，则可以将边替换为权重

n

，将边替换为权重为1的

n

中间节点。大概是这样的：

A---(3)-----B
|           |
\-(1)-C--(1)/

A-(4)-B

将是：

A-(1)-M1-(1)-M2-(1)-M3-(1)-B

不要在最后的BFS/DFS结果中考虑这些中间节点（如M1、M2、M3）。

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这个算法的复杂度是O（V*M），M是边的最大权重，如果我们知道在特定的图中

M
老师提到BFS/DFS不能直接用于在加权图中查找最短路径

首先，DFS已经不在讨论范围内，根本不适用于最短路径

其次，正确地解释了BFS在带有圈的加权图上失败的原因，并建议使用优先级队列替换队列，如果找到到节点的新的较短路径，则允许松弛

然而，在加权有向无环图（加权图）上，Dijkstra的是过杀的，通过按拓扑顺序松弛每个顶点，可以在
O（|V|+|E |）
时间中找到单源最短路径。这种方法也适用于具有负权重边的DAG

下面是高级算法：

distance={V:V在顶点中的无穷大}
前置={V:顶点中的V无}
对于拓扑排序中的U（顶点）：
对于相邻的V（U）：
如果距离[V]>距离[U]+边缘重量（U，V）：#放松边缘
距离[V]=距离[U]+边缘重量（U，V）
前辈[V]=U

资料来源：




谢谢你，但我有一个疑问。您解释了Dijkstra在上述示例中的工作方式，它选择了从A->C到C的路径，因为它具有到C的最低边权重。假设，来自C->B的边的权重为4，并且存在来自A->D（权重3）和D->B（权重1）的边。按照你说的，边A->C和C->B首先被穿过，对吗？然后，我猜A->D和D->B的边必须被穿过，即使B已经被看到，否则我们将错过最短路径。那么，我们怎么能忽视这条道路呢？我想你在第三点提到了这一点。如果我错了，请纠正我。。Thanks@user2125722将首先遍历A->C，因为它是权重最低的边，然后是A->B和A->D，然后是D->B，然后是C->B。如果您不明白为什么会出现这种情况，请尝试单步遍历此图算法的伪代码。@user2125722请注意，在Dijkstra的算法中看到的定义略有不同。我更新了代码以更清楚地反映实际发生的情况。谢谢，我现在就知道了。因此，在Dijkstra中，我们检查每一条路径，但按照最短的看不见权重的顺序，对吗？@user2125722是的，您从起始节点开始几条路径，并每次扩展最短路径/将其拆分为多条路径。由于到目前为止，最短路径始终是先处理的，因此无论该路径上有多少条边，最终都会找到到达目的地的最短路径。谢谢，这是可以做到的，但在权重很大的情况下，这是不可行的，对吗？@partiallyfinit我知道了。谢谢：D@Lrrr您在回答中提到时间复杂度为O（V*M），但它是否会像PartiallyFinite提到的那样依赖于边的数量？您无法使用DFS来查找最短路径，即使在未加权的图中；BFS可以做到这一点。