Graph 具有一条负边的最短路径

设G（V，E）是一个无负圈的有向连通图。除一条边外，所有边都具有非负权重。从V中的s，t中找到一条简单的最短路径

我的想法-

在图上做一个BFS，找到具有负权重的边

将此负权重添加到所有边，以便消除负权重

做Dijkstra算法

我的想法行不通

你能帮我找出原因吗

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谢谢。

您的方法不起作用的原因是它不公平地惩罚具有更多边的路径

设想从源节点到目标节点的两条路径，一条具有更多边但权重较低，另一条具有更少边且权重较高。假设添加到每条边上的权重为3

原始路径：

S -> 1 -> 1 -> 1 -> 1 -> 1 -> T    wt = 5
S -> 4 -> 3 -> T                   wt = 7

添加权重后的路径：

S -> 4 -> 4 -> 4 -> 4 -> 4 -> T    wt = 20
S -> 7 -> 6 -> T                   wt = 13

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如您所见，第二条路径现在被错误地标识为较短的路径。

您的方法不起作用的原因是它不公平地惩罚了具有更多边的路径

设想从源节点到目标节点的两条路径，一条具有更多边但权重较低，另一条具有更少边且权重较高。假设添加到每条边上的权重为3

原始路径：

S -> 1 -> 1 -> 1 -> 1 -> 1 -> T    wt = 5
S -> 4 -> 3 -> T                   wt = 7

添加权重后的路径：

S -> 4 -> 4 -> 4 -> 4 -> 4 -> T    wt = 20
S -> 7 -> 6 -> T                   wt = 13

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正如您所看到的，第二条路径现在被错误地标识为较短的路径。

您的方法的问题是，如果一条负边具有较大的负值，它可能会创建更多的负边

您可以研究Bellman Ford最短路径算法来解决此问题：

1） 第一步是将从源到所有顶点的距离初始化为无限，并将到源本身的距离初始化为0。创建一个大小为| V |的数组dist[]，其所有值均为无穷大，除了dist[src]，其中src是源顶点

2） 此步骤计算最短距离。执行以下操作| V |-1次，其中| V |是给定图形中的顶点数。 ..…a）对每个边缘u-v执行以下操作 如果距离[v]>距离[u]+边缘uv的权重，则更新距离[v] 距离[v]=距离[u]+边缘uv的重量

3） 此步骤报告图表中是否存在负权重循环。对每个u-v边执行以下操作 ……如果距离[v]>距离[u]+边缘uv的权重，则“图形包含负权重循环”

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第3步的思想是，如果图不包含负权重循环，第2步保证最短距离。如果我们再次迭代所有边，并为任何顶点获得较短的路径，则存在负权重循环

您的方法的问题是，如果一条负边具有较大的负值，则可能会创建更多的负边

您可以研究Bellman Ford最短路径算法来解决此问题：

1） 第一步是将从源到所有顶点的距离初始化为无限，并将到源本身的距离初始化为0。创建一个大小为| V |的数组dist[]，其所有值均为无穷大，除了dist[src]，其中src是源顶点

2） 此步骤计算最短距离。执行以下操作| V |-1次，其中| V |是给定图形中的顶点数。 ..…a）对每个边缘u-v执行以下操作 如果距离[v]>距离[u]+边缘uv的权重，则更新距离[v] 距离[v]=距离[u]+边缘uv的重量

3） 此步骤报告图表中是否存在负权重循环。对每个u-v边执行以下操作 ……如果距离[v]>距离[u]+边缘uv的权重，则“图形包含负权重循环” 第3步的思想是，如果图不包含负权重循环，第2步保证最短距离。如果我们在所有边上再迭代一次，得到任何顶点的较短路径，则存在负权重循环