Algorithm 为什么可接受的启发法能保证最优性？

今天在课堂上，我的教授向我们介绍了可接受的启发式算法，并说它们保证了A*算法的最优性

我让他用一个极端的例子来解释这一点，让它变得明显，但他不能

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有人能帮忙吗

我们有一份候选人名单，对吗

它们中的每一个都有一个ETC（预期总成本），以从起始节点达到目标（即，达到该节点的成本+达到目标的预期剩余成本（启发式））

现在，如果预期成本与实际成本相同，我们将直接选择最短路径上的节点（好的，任何最短路径），而不选择其他路径。既然我们选择了最低的ETC，那么很明显为什么我们只从最短路径中选择节点——任何不在最短路径上的节点都会有更高的ETC

如果ETC低于实际成本怎么办？我们总是选择最低的ETC，因此我们可能最终选择不在最短路径上的节点。但我们永远无法通过非最短路径实现目标，因为：

• 最短路径的实际成本低于任何非最短路径
• 目标处的ETC与通过该路径达到目标的成本相同（因为我们已经达到目标，预期剩余成本为0）
• ETC始终小于或等于任何路径上的实际总成本
• 因此，最短路径上的ETC严格小于通过非最短路径达到的目标上的ETC

例如，假设成本如下：（节点上方/下方的成本是预期剩余成本，边缘处的成本是实际成本）

很明显，我们首先要访问中间的上节点，因为ETC是10（10+0）

然后目标是一个候选人，ETC为110（10+100+0）

然后我们会一个接一个地选择底部节点，然后是更新的目标，因为它们的ETC都低于当前目标的ETC，即它们的ETC是：100、101、102、102

因此，即使目标是一个候选目标，我们也无法选择它，因为还有一条更好的道路

使用不可接受的启发式，a*算法可以忽略 搜索问题的最佳解决方案

文中给出了一个很好的例子：15难题

对于这个特殊的问题，采用一个启发式函数，返回错位的瓷砖（要移动）的数量作为达到目标的成本（整个拼图被排序）。这是可能的最少移动次数，尽管它不是实际的解决方案

将此作为当前节点：

目标节点：

交换15和14个磁贴

对于上图中显示的节点，它将返回2（两个分片放错了位置：15和14）。此启发式函数是可接受的，因为它不会忽略最佳解决方案（用两个移动对谜题进行排序——将15和14移动到正确的位置）

因此，启发式保证了最优性

  0    10  0  100   0
START ---- O ------ GOAL
0 |                 | 100
  O ------ O ------ O
 100  1   100  1   100