Algorithm 什么是计算机科学中的NP完全？

什么是NP完全问题？为什么它在计算机科学中如此重要？

老实说，也许是寻找答案的最佳地方

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如果NP=p，那么我们可以比以前想象的更快地解决非常困难的问题。如果我们在P（多项式）时间内只解决一个NP完全问题，那么它可以应用于NP完全范畴内的所有其他问题。

这是一类问题，我们必须模拟每一种可能性，以确保我们有最优解

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对于一些NP完全问题，有很多很好的启发式方法，但它们充其量只是一个有根据的猜测。

NP代表非确定性多项式时间

这意味着可以使用非确定性图灵机（类似于常规图灵机，但也包括非确定性“选择”函数）在多项式时间内解决问题。基本上，一个解决方案必须是可测试的。如果是这样的话，一个已知的NP问题可以用修改输入的给定问题来解决（一个NP问题可以简化为给定问题），那么这个问题就是NP完全问题

一个NP完全问题的主要问题是，它不能以任何已知的方式在多项式时间内求解。NP-Hard/NP-Complete是一种表示某些类问题在现实时间内不可解的方法

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编辑：正如其他人所指出的，NP完全问题通常有近似解。在这种情况下，近似解通常使用特殊符号给出近似界，它告诉我们近似值有多接近。

NP Complete意味着非常具体的东西，你必须小心，否则你会得到错误的定义。首先，NP问题是一个肯定/否定问题

对于问题的每个实例，都有多项式时间证明，答案为“是”，或（等价地）

存在一种多项式时间算法（可能使用随机变量），如果问题实例的答案为“是”，则回答“是”的概率为非零，如果答案为“否”，则会在100%的时间内说“否”。换句话说，该算法的假阴性率必须小于100%，且无假阳性

问题X是NP完全的，如果

X在NP中，并且

对于NP中的任何问题Y，都有一个从Y到X的“归约”：一个多项式时间算法，它将Y的任何实例转换为X的实例，从而当且仅当X实例的答案为“是”时，Y实例的答案为“是”

如果X是NP完全的，并且存在一个确定的多项式时间算法，可以正确地解决X的所有实例（0%误报，0%误报），那么NP中的任何问题都可以在确定的多项式时间内解决（通过减少到X）

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到目前为止，还没有人提出过这样一个确定的多项式时间算法，但没有人证明它是不存在的（任何一个能做到这一点的人都要花一百万美元：这就是问题所在）。这并不意味着你不能解决一个NP完全（或NP难）问题的特定实例。这只是意味着你不能像对整数列表进行可靠排序那样，在所有问题实例上都能可靠地工作。你很可能会想出一个算法，它能很好地处理NP难问题的所有实际情况。

NP完全是一类问题

类

p

由可在多项式时间内解决的问题组成。例如，对于某个常数k，它们可以用O（nk）来求解，其中n是输入的大小。简单地说，您可以编写一个在合理时间内运行的程序

类

NP

由那些在多项式时间内可验证的问题组成。也就是说，如果我们得到一个潜在的解决方案，那么我们可以检查给定的解决方案在多项式时间内是否正确

一些例子是布尔可满足性（或SAT）问题，或哈密顿循环问题。在NP类中有许多已知的问题

NP-Complete

表示该问题至少与NP中的任何问题一样难

这对计算机科学很重要，因为已经证明NP中的任何问题都可以转化为另一个NP完全问题。这意味着任何一个NP完全问题的解都是所有NP问题的解

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许多安全算法依赖于NP难问题不存在已知解这一事实。如果找到一个解决方案，它肯定会对计算产生重大影响。

如果你正在寻找一个NP完全问题的例子，那么我建议你看看

基本前提是你在中有一个表达式，这是一种表示你有一系列表达式，这些表达式由OR连接，所有这些表达式都必须是真的：

(a or b) and (b or !c) and (d or !e or f) ...

3-SAT问题是找到一个满足表达式的解决方案，其中每个OR表达式正好有3个布尔值要匹配：

(a or !b or !c) and (!a or b or !d) and (b or !c or d) ...

这个问题的解决方案可能是（A=T，b=T，c=F，d=F）。然而，目前还没有发现能在多项式时间内解决这一问题的算法。这意味着解决这个问题的最好方法就是用蛮力猜测、检查并尝试不同的组合，直到找到一个有效的组合

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3-SAT问题的特殊之处在于，任何NP完全问题都可以简化为3-SAT问题。这意味着，如果你能找到一个多项式时间算法来解决这个问题，那么你就得到了，更不用说全世界计算机科学家和数学家的尊敬和钦佩了。

上面对NP完全问题的定义是正确的，但我想我可能会成为抒情诗人