Algorithm 更改金额N的方法数

我遇到了这个问题：

给定一个值N，如果我们想换N美分，并且我们有无限量的S={S1，S2，…，Sm}值的硬币，我们可以用多少种方式来换？硬币的顺序无关紧要

例如，对于N=4和S={1,2,3}，有四种解决方案：{1,1,1}，{1,1,2}，{2,2}，{1,3}。所以输出应该是4。对于N=10和S={2,5,3,6}，有五个解：{2,2,2,2,2}，{2,2,3,3}，{2,2,6}，{2,3,5}和{5,5}。所以输出应该是5

我想出了解决办法：

// recurrence relation
count[N] = count[N-d] for all denomination <= N

Source code
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public static int numWays(int N, int[] denoms) {
  if (N == 0)
     return 0;
  
  int[] ways = new int[N+1];
  ways[0] = 1;
  
  for (int i=1; i<=N; i++) {
     ways[i] = 0;
     for (int d : denoms) {
        if (d <= i) {
           ways[i] += ways[i-d];
        }
     }
  }
  
  return ways[N];
}

//递归关系
count[N]=所有面额的count[N-d]让
C（i，j）
使用面额为
S1，…，Sj的硬币来计算总
i
的方法的数量。您的代码实现了以下循环（有序方式）

C（i，m）| i<0=0
|i==0=1
|i>0=sum_{j=1}^mc（i-Sj，m）

链接代码实现了不同的重复（无序方式）

C（i，j）| i<0=0
|i==0=1
|i>0&&j0&&j>0=C（i-Sj，j）+C（i，j-1）

这两个代码之间的差异很微妙：或多或少只是循环的嵌套方式。在转到
i+1
之前，您添加了
i
的所有术语，但是链接的代码为每个
i
添加了
j
术语，然后为每个
i
添加了
j+1
术语，以此类推，当链接代码考虑使用小计
i
中的面值-Sj
硬币的可能性时，它隐含地只考虑继续使用面值
S1，…，Sj
硬币的那些解决方案，因为
i-Sj
的当前总数不包括使用其他硬币的可能性

C(i, m) | i <  0 = 0
        | i == 0 = 1
        | i >  0 = sum_{j = 1}^m C(i - Sj, m)

C(i, j) | i <  0           = 0
        | i == 0           = 1
        | i >  0 && j <= 0 = 0
        | i >  0 && j >  0 = C(i - Sj, j) + C(i, j - 1)