Algorithm 以下代码的增长顺序？

我被问到以下问题，无法决定正确答案：

for (int i=1; i<=n/2; i++)
  for(int j=i; j<=n-i;j++)
    for(int k=i;k<=j;k++)
      x++;

但这并不能真正帮助我弄清楚增长的顺序。

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也许有更好的方法找到它？

这看起来像是一个家庭作业问题，所以我会给你一些提示

1） 假设您只有内部循环。作为i和j的函数，你通过内循环多少次？循环的每次迭代执行多少操作？总共应该执行多少个操作

2） 现在假设你只有两个内部循环。作为i和n的函数，你通过外环多少次？每次通过外环时，你会通过内环多少次？（提示：这应该根据j的不同而有所不同）总共应该执行多少个操作

3） 现在，您已经准备好查看整个问题。您通过内部两个循环多少次（作为n的函数），每次迭代应该执行多少次操作？总共执行了多少次操作？（这是你的答案）

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好吧，你说这不是家庭作业问题，实际上比我想象的要难，所以我就给你答案

每个内部循环在时间j-i中运行

第二个循环在时间（i-i）+（i+1-i）+…+中运行（i+n-2i-i）=1+2+…+（n-2i）=（n-2i）（n-2i+1）/2，通过数学归纳法

在计算增长顺序时，1项与n项相比非常小，因此外环大约以n^2/2+（n-2）^2/2+（n-4）^2/2+…+运行1/2

这大约是1^2+2^2+…+的四分之一n^2，通过归纳，它是n（n+1）（2n+1）/6。因此，增长的顺序是ω（n^3）。

我试图计算它，我发现

T（n）=（13/12）*n*（n²+3*n+2）

（数学规则！）。所以它是立方的。->回答1。

编辑：计算中有错误。真正的答案是

T（n）=n*（n+2）*（2*n-1）/24

：

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但是它仍然是立方的。

有人在上面的评论中提到了打印语句。以下是一些：

n = 20 --> x = 715
n = 21 --> x = 825
n = 22 --> x = 946
n = 23 --> x = 1078
n = 24 --> x = 1222
n = 25 --> x = 1378
n = 26 --> x = 1547
n = 27 --> x = 1729
n = 28 --> x = 1925
n = 29 --> x = 2135
n = 30 --> x = 2360
n = 31 --> x = 2600
n = 32 --> x = 2856
n = 33 --> x = 3128
n = 34 --> x = 3417
n = 35 --> x = 3723
n = 36 --> x = 4047
n = 37 --> x = 4389
n = 38 --> x = 4750
n = 39 --> x = 5130
n = 40 --> x = 5530

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但它有3个嵌套循环并不意味着它实际上是立方的。你为什么认为它是立方的？试着找出i的平均值作为n的函数，j作为i的函数，等等。@Atlante我没有给出答案的一个原因是因为我不知道，但当你从i到n-2，那就是O（n），当你从0到n-i，随着i的增加，平均到n/4，也就是O（n）。最后一个语句实际上更难计算，因为它甚至不使用n，所以您必须进行数学运算。你可以考虑添加一些打印语句并运行代码，这样你就可以更好地想象发生了什么。这不是一个家庭作业，而是一个我无法理解的先前测试的问题。如果有什么令人困惑的地方，请告诉我。哇，谢谢！！实际上，在你的第一次帮助下，我设法找出了内部的两个循环。我唯一得不到的是：模一个常数因子，大约是1+2+…+的一半n^2，通过归纳，它是n（n+1）（2n+1）/6。因此，生长顺序为ω（n^3）。你能帮忙吗？谢谢！！哦，事实上我明白了！谢谢！1 + 2 + ... + n^2=n^2（n^2+1）/2或者你是说1+4+9+…+n^2？你是怎么做到的？@atlanteh:见编辑谢谢！！非常有用！！谢谢。反正我自己做的！

n = 20 --> x = 715
n = 21 --> x = 825
n = 22 --> x = 946
n = 23 --> x = 1078
n = 24 --> x = 1222
n = 25 --> x = 1378
n = 26 --> x = 1547
n = 27 --> x = 1729
n = 28 --> x = 1925
n = 29 --> x = 2135
n = 30 --> x = 2360
n = 31 --> x = 2600
n = 32 --> x = 2856
n = 33 --> x = 3128
n = 34 --> x = 3417
n = 35 --> x = 3723
n = 36 --> x = 4047
n = 37 --> x = 4389
n = 38 --> x = 4750
n = 39 --> x = 5130
n = 40 --> x = 5530