Algorithm 多项式求值精度，乘法与除法_Algorithm_Floating Accuracy_Numerical Analysis

Algorithm 多项式求值精度，乘法与除法

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Algorithm 多项式求值精度，乘法与除法,algorithm,floating-accuracy,numerical-analysis,Algorithm,Floating Accuracy,Numerical Analysis,假设x中有多项式，除以x的幂： p = (a + x(b + x(c + ..)))/(x**n) 撇开效率不谈，更精确的数值计算方法是上述方法还是使用除法： p = (((a/x + b)/x + c)/x + ...) 从理论上说，如果这些值是以“无限”精度精确计算的，那么应该不会有任何差异 Kernighan和Plauger在他们古老但优秀的书中指出：一位聪明的程序员曾经说过，浮点数就像一小堆沙子；每次你移动一个，你就会失去一点沙子，得到一点泥土该部门的业务总体上略为减少，这意味着

假设x中有多项式，除以x的幂：

p = (a + x(b + x(c + ..)))/(x**n)

撇开效率不谈，更精确的数值计算方法是上述方法还是使用除法：

p = (((a/x + b)/x + c)/x + ...)

从理论上说，如果这些值是以“无限”精度精确计算的，那么应该不会有任何差异

Kernighan和Plauger在他们古老但优秀的书中指出：

一位聪明的程序员曾经说过，浮点数就像一小堆沙子；每次你移动一个，你就会失去一点沙子，得到一点泥土

该部门的业务总体上略为减少，这意味着流失沙子和获得灰尘的机会略为减少

详细的分析可能需要查看系数A、b、c等以及x的值——当x很大时起作用的可能在x接近零时不起作用，反之亦然。

理论上，如果以“无限”精度准确计算值，则不应该有任何差异

Kernighan和Plauger在他们古老但优秀的书中指出：

一位聪明的程序员曾经说过，浮点数就像一小堆沙子；每次你移动一个，你就会失去一点沙子，得到一点泥土

该部门的业务总体上略为减少，这意味着流失沙子和获得灰尘的机会略为减少

详细的分析可能需要查看系数A、b、c等，也许还需要查看x的值——当x很大时起作用的可能在x接近零时不起作用，反之亦然。

我认为差异是最小的，除非有可能x**n溢出或下溢，在这种情况下，应该使用第二个表达式

这两个表达式在两个地方有所不同：

第一个表达式的求值顺序是颠倒的…，c，b，a和a，b，c。。。对于第二个表达式。哪一个最好取决于系数的值。第一个表达式的结尾是…/x**n。正如Jonathan解释的那样，出于这个原因，第二个表达式可能更准确，因为它的运算量更少。但是，我认为…/x**n与其他地方相比，只会造成最小的精度损失，除非x**n溢出或下溢。

我认为差异是最小的，除非有可能x**n溢出或下溢，在这种情况下，您应该使用第二个表达式

这两个表达式在两个地方有所不同：

不幸的是，提供的答案是错误的

第二个方程p=a/x+b/x+c/x+。。。只差一点点对于准确度和速度来说要差得多

为什么?？乘法的相对误差只有主要的线性项和一个小的二次项。相比之下，除法引入了更高的成本，但非常小的三次、四次项：

e=相对误差，假设两项均为常数

a*b=a1+eb1+e=ab 1+2e+e^2//乘法

a/b=a1+e/b1+e=a/b1+e1+e+e^2+e^3+…几何级数//除法

所以除法总是比乘法差一点。出于速度考虑：除法总是比乘法慢，法向系数可以在3-10倍之间变化。所以嵌套的划分非常重要如果不计算最后一个因子，则比嵌套乘法慢 x^n不是通过pow，而是通过嵌套乘法

x^n可以通过循环乘以结果来轻松计算双倍功率=x；对于n-1 功率*=x

如果您使用pow，请注意它主要由指数和对数，所需时间比必要的100倍多得多

您是否意识到，虽然加倍和精确结果之间的误差仍然很小，对于更高的n，多项式结果对x的变化非常敏感？！因此，如果你使用更高的n，请注意你的答案可能完全不正确

因为x中的小误差在天文上被放大了。