Algorithm 当函数中有一个ceil时，如何找到渐近复杂性？（2^2^ceil（log2（n））=O（2^n）？

我运行了一个程序来找出n+1和2**ceil（log2（n+1））之间的差异，其中n是2的幂。它一直呈指数增长

所以从Big-O的定义来看，不存在常数c'-

2^(2^ceil(log2(n))) <= c' * 2^n

---

上述说法正确吗？如果是，那么我如何证明它呢？

我们需要证明，对于每个常数c，都存在n，使得2^（2^ceil（log2（n））>c*2^n。让我们考虑n＝2 ^ k+ 1，对于某个整数k＞1；这是我们的权利，因为我们并不试图证明所有n。期望的不等式变成

2^(2^ceil(log2(2^k + 1))) >? c * 2^(2^k + 1).

我们简化左手边

ceil(log2(2^k + 1)) = k + 1
2^(2^ceil(log2(2^k + 1))) = 2^(2^(k + 1)).

理想的不等式是

2^(2^(k + 1)) >? c * 2^(2^k + 1).

这种不平等相当于

2^(2^(k + 1) - 2^k - 1) = 2^(2^k - 1) >? c.
2^k - 1 >? log2(c)
2^k >? log2(c) + 1
k >? log2(log2(c) + 1).

---

k（因此n）的选择现在是显而易见的；向后遍历不等式以显示所需的不等式，因此函数不是O（2^n）。

我们需要证明，对于每个常数c，存在n，使得2^（2^ceil（log2（n））>c*2^n。让我们考虑n＝2 ^ k+ 1，对于某个整数k＞1；这是我们的权利，因为我们并不试图证明所有n。期望的不等式变成

2^(2^ceil(log2(2^k + 1))) >? c * 2^(2^k + 1).

我们简化左手边

ceil(log2(2^k + 1)) = k + 1
2^(2^ceil(log2(2^k + 1))) = 2^(2^(k + 1)).

理想的不等式是

2^(2^(k + 1)) >? c * 2^(2^k + 1).

这种不平等相当于

2^(2^(k + 1) - 2^k - 1) = 2^(2^k - 1) >? c.
2^k - 1 >? log2(c)
2^k >? log2(c) + 1
k >? log2(log2(c) + 1).

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k（因此n）的选择现在是显而易见的；向后通过不等式来显示所需的不等式，因此函数不是O（2^n）。

2^（2^ceil（log2（n））<2^（2^（log2（n）+1））=2^（2n）

2^（2^ceil（log2（n））<2^（2^（log2（n）+1））=2^（2n）

从您显示的代码（

fn=f1 n-f2 n

）可以说这是一个O（1）操作（

fn=f1 n-f2 n

）我想说这是一个O（1）操作。我只是想说，应该强调选择

2^k+1

的重要性。这是处理

ceil

的一个很好的方法，因为它迫使它总是四舍五入。这对于进一步的分析至关重要。我犯了一个错误，认为您禁止绑定

2^（2^ceil（log2（n））

by

2^（2^log2（n））

和

2^（log2（n）+1））

。对于

ceil

无法取整的情况，它与

O（2^n）

相同，通过仔细选择

n

并消除

2^ceil（log2（n））=n的情况，您可以排除“乐观情况”，它总是
2n
，这使得
2^f（n）
有所不同。为了清楚起见，对于
ceil
四舍五入的情况，它的行为类似于
2^（2n）
和
O（2^n）
。顺便问一下，你能证明这是非整数
k
，因此
ceil（log2（2^k+1））=k+1
假设不明确？我发现有趣的是，你可以为函数选择特定的值，它的渐近行为不同。我注意到有一个缺点，你有点违反了OP提出的约束，即“n是2的幂”你说“它是2加1的幂”，这对于一般分析很好，但对于特定的情况，它似乎有很大的变化。我只是想说，应该强调选择
2^k+1
的重要性。这是处理
ceil
的一个很好的方法，因为它迫使它总是四舍五入。这对于进一步的分析非常重要。我在中犯了一个错误，认为您通过
2^（2^log2（n））
和
2^（2^（n）+1）绑定
2^（2^ceil（log2（n））
。对于
ceil（log2（n））
无法取整的情况，它与
O（2^n）
相同，通过仔细选择
n
并消除
2^ceil（log2（n））=n
的情况，可以排除“乐观情况”，它总是
2n
，这使得
2^f（n）
有所不同。为清楚起见，对于
ceil
四舍五入的情况，它的行为类似于
2^（2n）
和
O（2^n）
O（2^（2n））
。顺便问一下，您能否证明非整数
k
，因此
ceil（log2（2^k+1））=k+1
假设不明确？我发现有趣的是，你可以为函数选择特定的值，它的渐近行为是不同的。我注意到有一个缺点，你有点违反了OP提出的约束，即“n是2的幂”，你说“它是2加1的幂”，这对于一般分析来说是很好的，但对于特殊情况，它似乎改变了很多。