Algorithm 完美平方算法-实现说明

这个问题是这里帖子的后续内容：

其中一个帖子有这样一个解决方案，可以确定给定的数字是否是完美的正方形：

public final static boolean isPerfectSquare(long n)
    {
        if (n < 0)
            return false;

        switch((int)(n & 0xF))
        {
        case 0: case 1: case 4: case 9:
            long tst = (long)Math.sqrt(n);
            return tst*tst == n;

        default:
            return false;
        }
    } 

public最终静态布尔值isPerfectSquare（长n）
{
if（n<0）
返回false；
开关（（int）（n&0xF））
{
案例0:案例1:案例4:案例9:
longtst=（long）Math.sqrt（n）；
返回tst*tst==n；
违约：
返回false；
}
} 

这是一个简洁的解决方案，效果非常好。但是，对于它是如何工作的，或者更重要的是，这个解决方案是如何导出的，没有详细解释。

---

我想知道这个解决方案是如何推导出来的。

n&0xF

只选取n的最后4位，因为

0xF

是二进制的

1111

。实际上，这相当于n除以16得到余数

该算法利用了这样一个事实：

m

，

m%16

只能是

0

，

1

，

4

或

9

中的一个。可以证明如下：

任何自然数

n

都可以表示为

4k

、

4k+1

、

4k+2

或

4k+3

（对于某些自然数

k

）

然后，

n^2

可以是

（4k）^2

，

（4k+1）^2

，

（4k+2）^2

或

（4k+3）^2

。 =>

n^2

可以是

16k^2

，

16k^2+8k+1

，

16k^2+16k+4

或

16k^2+24k+9

如果

n^2

是

16k^2

，

n^2%16

显然是0

如果

n^2

是

16k^2+8k+1

，

n^2%16=（8k+1）%16=（8k%16）+1=0或9，这取决于
k
是偶数还是奇数

如果
n^2
是
16k^2+16k+4
，
n^2%16=4

如果
n^2
是
16k^2+24k+9
，
n^2%16=（24k+9）%16=（16k+8k+9）%16=1或9，这取决于k是奇数还是偶数

因此，
n^2%16
只能是
0,1,4或9
虽然这个问题与编程无关，但它仍然与选择的解决方法有关。这就是为什么我会发布正确的解释。显然，
x&0xF
只相当于
x%16
——即从除法到16的模（因为is将保留相应的位。然而，此技巧仅适用于2的幂次方）

此方法基于完美正方形的非常重要的一点：

如果整数
K
除以模
r
的任何整数
b
（因此
K%b=r
），那么K2和r2除以
b
将得到相同的模。

为什么?？实际上，我们有：K2-r2=（K-r）（K+r）和
K-r
将被除以
b
，结果为整数（因为
r
是
K
除以
b
的模）

这就是为什么
b=16
：

r       r^2  (r^2)%16
0 ---->  0 ---> 0
1 ---->  1 ---> 1
2 ---->  4 ---> 4
3 ---->  9 ---> 9
4 --->  16 ---> 0
5 --->  25 ---> 9
6 --->  36 ---> 4
7 --->  49 ---> 1
8 --->  64 ---> 0
9 --->  81 ---> 1
10 --> 100 ---> 4
11 --> 121 ---> 9
12 --> 144 ---> 0
13 --> 169 ---> 9
14 --> 196 ---> 4
15 --> 225 ---> 1
r^2（r^2）%16
0 ---->  0 ---> 0
1 ---->  1 ---> 1
2 ---->  4 ---> 4
3 ---->  9 ---> 9
4 --->  16 ---> 0
5 --->  25 ---> 9
6 --->  36 ---> 4
7 --->  49 ---> 1
8 --->  64 ---> 0
9 --->  81 ---> 1
10 --> 100 ---> 4
11 --> 121 ---> 9
12 --> 144 ---> 0
13 --> 169 ---> 9
14 --> 196 ---> 4
15 --> 225 ---> 1
因此，正如您所看到的，如果
r
是从完美平方的除得到的，那么模必须与
r^2%16
的模相同-因此，它只能是
0
，
1
，
4
和
9

还有一件事很重要：这是完美平方的必要条件，而不是足够的条件（所以要点是“如果模不是0,1,4或9，那么数不是完美平方”，但它仍然不等于“如果模是0,1,4或9，那么数就是完美平方”简单示例是
17
：
17%16=1
，但17不是完美的正方形）这就是为什么即使满足模条件，该方法仍然使用

返回tst*tst==n

-i、 e.通过计算其平方根来测试
n
是否为完美平方。因此，这种方法大约在4倍的时间内会更快——因为对于12的16个可能的模，我们总是可以返回
false
如果一个数字是一个完美的平方，它的平方根就是一个整数。所以你只要取平方根。由于浮点算术是不准确的，您不需要检查平方根是否为整数，只需将其四舍五入到最接近的整数，然后检查该整数是否为数字的平方根。这似乎利用了一个事实，即完美平方除以16只能有0、1、4或9作为余数。数学网站可能更适合解释为什么会出现这种情况。@凯文，在这种情况下，用穷举法证明（列举所有15个案例）就足够了。请注意，平方的最低有效位仅受其根的最低有效位的影响。这让我隐约想起素数的轮分解。这是一种快速的方法，可以消除那些不是优秀候选人的优秀候选人。可以用它来做这个，是的（事实上是这样）。实际上，因式分解的情况也依赖于必要条件（显然，这仍然是不够的），您忘记了显示16k^2+16k+4%16=4。所以你的答案应该是，n^2%16只能是0,14或9。