Algorithm 检查边值之和大于0的图形中是否存在包含某条边的循环

假设我们有一个无向图，其中每条边都有一个实数值。让我们将循环的“和”定义为该循环中每条边的值之和

是否有一种合理快速的方法来检查包含某条边E的图中是否存在循环，其中总和大于/小于0？现在，我的解决方案（极其粗糙且效率极低）是检查edge所处的每个周期

算法不需要找到一个精确的循环，它只需要检查是否存在这样的循环。

假设您只允许简单的循环，不，没有有效的算法可以这样做，因为它可以让我们高效地求解。（换言之，这个问题是）

减少：

（我们将使用你的问题的一个变体，我们将发现是否存在重量大于/等于零的简单循环）

给定一个图

G=（V，E）

，构建一个新的图：

G' = (V',E')
V' = V U {s,t}
E' = E U { (s,v), (v,t), (s,t) }
And add weights to the graph:
w(s,t) = -|V'| + 1
w(u,v) = 1    for u!=s and v!= t

直观地说，我们添加一个“源”和“目标”节点，将它们连接到所有其他节点，并使这两个节点以所有路径的负权重连接

还原将

（G'，（s，t））

发送到新算法

现在，如果原始图有哈密顿路径

v1->v2->…->vn

，那么新图有一个循环

s->v1->v2->…->vn->t->s

，其和为0，是一个简单的循环

如果在

G'

中有一个简单的循环，它使用

（s，t）

，并且总和大于0，那么它意味着除了

（s，t）

使用的所有其他边的总权重至少为

|V'|-1

。 从结构上看，这意味着在这个循环中确实有

|V'

节点，这是整个图，所以我们知道这个循环是：

s->t->v1->v2->…->vn->s

，因为这很简单，

v1，v2，…，vn

是原始

V

中的所有节点，这意味着有一个哈密顿路径

v1->v2->…->vn

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结论：我们已经展示了从哈密顿路径到你的问题的多项式时间缩减，而且由于HP是NP难的，这个问题也是。

是否存在不涉及该边的负循环？@Davidisenstat我不确定你的意思。任何有效循环都可以是正循环、零循环或负循环。