Algorithm 无限完整二叉树中两个节点之间的最短路径？

假设我们有一个无限完整的二叉树，其中节点编号为1，2，3。。。按其位置逐层遍历树。给定树中两个节点u和v的索引，如何有效地找到它们之间的最短路径

---

谢谢

@Jonathan Landrum在评论中指出了解决方案。这个答案充实了这个解决方案

在任何树中，任意两个节点之间只有一条路径。因此，这个问题归结为确定这两个节点之间的唯一路径

在任何有根树中，两个节点u和v之间的最短路径可以通过查找两个节点的最低公共祖先x，然后连接从u到x和从x到v的路径来找到。因此，在您的情况下，您需要找到两个节点的LCA，然后将这些路径粘合在一起

由于您有一个无限二叉树，我假设表示如下：

             1
       /             \
      2               3
    /   \           /   \
   4     5         6     7
  / \   / \       / \   / \
 8  9  10 11     12 13 14 15

如果将所有数字写成二进制，则此树形状具有一个非常有趣的特性：

                  1
            /         \
        10                  11
    /         \         /         \
  100        101       110       111
 /   \      /    \    /   \     /   \
1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

有几件事你可以注意到。首先，每个节点的深度由1减去MSB的索引给出

接下来，请注意，如果一个数字有二进制表示b1 b2。。。bn-10亿，那么它的母公司是b1-b2。。。bn-1，如果bn=0，则为左子级，如果bn=1，则为右子级。通过反复应用这个属性，我们得到如下结果：当且仅当v>>k=u时，节点u是v的第k个祖先

这让我们有很多工作要做。通常，您可以通过以下方式计算LCAu，v：

如果u比v深，则从u向上移动直到到达与v相同深度的节点，反之亦然，如果v深，则从v向上移动。 以相同的速率从u和v向上走，直到它们到达相同的节点。该节点是LCA。 我们可以按如下方式直接在time-Olog-max{u，v}中实现这一点。要执行步骤1，请计算u和v的MSB索引，以确定每个节点的深度du和dv。让我们假设WLOG是dv≥ 杜。在这种情况下，通过计算v>>du-dv，我们可以找到在时间O1上与v深度相同的u的祖先。漂亮！在第二步中，我们比较u和v，如果它们不相等，将每一个向左移动一个点，模拟向上移动一级。我们可以执行此操作的最大次数由Olog max{u，v}给出，因此整个运行时是Olog max{u，v}

然而，我们可以通过使用改进的二进制搜索以指数方式加快速度。u和v的LCA深度必须介于0和min{du，dv}之间。一旦我们找到u和v的共同祖先x，我们就知道x的所有祖先也是u和v的共同祖先。因此，我们可以在LCA的可能深度上对u和v进行二进制搜索，通过使用位移位从该深度计算每个节点的祖先。这将在时间Olog log max{u，v}中运行，因为u的最大深度是Olog u，v的最大深度是Olog v

一旦我们找到了祖先，我们可以计算u和v之间的路径，如下所示。计算从u到该祖先的路径，方法是反复从u移开一位，直到我们到达共同的祖先。用同样的方法计算从v到祖先的路径，然后将该路径与第一步中找到的路径反向。此路径的长度由O | log u-log v |给出，因此运行时为O | log u-log v |

另一方面，如果你只需要路径的长度，你可以把从u到LCAu，v和从LCAu，v到v的距离相加。我们可以在每个Olog log max{u，v}时间中计算这些值，因此运行时是Olog log max{u，v}

---

希望这有帮助

@Jonathan Landrum在评论中指出了解决方案。这个答案充实了这个解决方案

在任何树中，任意两个节点之间只有一条路径。因此，这个问题归结为确定这两个节点之间的唯一路径

在任何有根树中，两个节点u和v之间的最短路径可以通过查找两个节点的最低公共祖先x，然后连接从u到x和从x到v的路径来找到。因此，在您的情况下，您需要找到两个节点的LCA，然后将这些路径粘合在一起

由于您有一个无限二叉树，我假设表示如下：

             1
       /             \
      2               3
    /   \           /   \
   4     5         6     7
  / \   / \       / \   / \
 8  9  10 11     12 13 14 15

如果将所有数字写成二进制，则此树形状具有一个非常有趣的特性：

                  1
            /         \
        10                  11
    /         \         /         \
  100        101       110       111
 /   \      /    \    /   \     /   \
1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

有几件事你可以注意到。首先，每个节点的深度由1减去MSB的索引给出

接下来，请注意，如果一个数字有二进制表示b1 b2。。。bn-10亿，那么它的母公司是b1-b2。。。bn-1，如果bn=0，则为左子级，如果bn=1，则为右子级。通过反复应用这个属性，我们得到如下结果：当且仅当v>>k=u时，节点u是v的第k个祖先

这让我们有很多工作要做。通常，您可以通过以下方式计算LCAu，v：

如果u比v深，则从u向上移动，直到到达sa处的节点 将深度视为v，反之亦然，如果v更深，则从v向上移动。 以相同的速率从u和v向上走，直到它们到达相同的节点。该节点是LCA。 我们可以按如下方式直接在time-Olog-max{u，v}中实现这一点。要执行步骤1，请计算u和v的MSB索引，以确定每个节点的深度du和dv。让我们假设WLOG是dv≥ 杜。在这种情况下，通过计算v>>du-dv，我们可以找到在时间O1上与v深度相同的u的祖先。漂亮！在第二步中，我们比较u和v，如果它们不相等，将每一个向左移动一个点，模拟向上移动一级。我们可以执行此操作的最大次数由Olog max{u，v}给出，因此整个运行时是Olog max{u，v}

然而，我们可以通过使用改进的二进制搜索以指数方式加快速度。u和v的LCA深度必须介于0和min{du，dv}之间。一旦我们找到u和v的共同祖先x，我们就知道x的所有祖先也是u和v的共同祖先。因此，我们可以在LCA的可能深度上对u和v进行二进制搜索，通过使用位移位从该深度计算每个节点的祖先。这将在时间Olog log max{u，v}中运行，因为u的最大深度是Olog u，v的最大深度是Olog v

一旦我们找到了祖先，我们可以计算u和v之间的路径，如下所示。计算从u到该祖先的路径，方法是反复从u移开一位，直到我们到达共同的祖先。用同样的方法计算从v到祖先的路径，然后将该路径与第一步中找到的路径反向。此路径的长度由O | log u-log v |给出，因此运行时为O | log u-log v |

另一方面，如果你只需要路径的长度，你可以把从u到LCAu，v和从LCAu，v到v的距离相加。我们可以在每个Olog log max{u，v}时间中计算这些值，因此运行时是Olog log max{u，v}

---

希望这有帮助

你能给我们提供更多的信息吗？最短路径是沿着目标节点的方向向上或向下移动，直到到达其分支，然后向上或向下移动，直到到达节点，不是吗？除非我误解了你的问题，在二叉树中从一个节点到另一个节点只有一种方法。因此，没有最短路径；这只是路径。你能给我们提供更多的信息吗？最短路径是沿着目标节点的方向向上或向下移动，直到到达其分支，然后向上或向下移动，直到到达节点，不是吗？除非我误解了你的问题，在二叉树中从一个节点到另一个节点只有一种方法。因此，没有最短路径；只有一条路。