Algorithm 哪种算法可以解决变量为位、运算为异或的方程组？

我想解一个方程组。每个方程的形式如下：

V1异或V2异或。。。异或Vx=Sx

Vx和Sx是单位变量。 Sx是已知的，我需要找到所有Vx的值

例：

解决方案V1=0，V2=0，V3=1

实际上，我有数千个变量，每个变量都是一个位，数千个方程只有异或运算。 我知道至少有一个解决方案，我只需要一个解决方案

我知道如何为一个小系统手工解决这个问题，但我不知道如何构建一个算法来解决这个问题

你能帮我吗？我是一名开发人员，我了解如何使用位、异或运算符和数据结构，但我的数学经验较少，我不知道使用哪种方程系统求解方法。我对矩阵运算也不是很直观，所以如果我需要它，请尝试解释得非常慢！：p

---

谢谢

您可以使用高斯消去法：

XOR是加法和减法-对于取模2的整数也是一样的，所以非常简单：

例如，找到一个包含v1的方程式，并将其添加到包含v1的所有其他方程式中，以从中删除v1：

v1 XOR v2        = 1
      +
v1        XOR v3 = 0
--------------------
       v2 XOR v3 = 1

---

使用不同的方程从所有其他方程中删除v2，使用不同的方程删除v3，等等，直到所有方程只有一个变量。

您可以使用高斯消去法：

XOR是加法和减法-对于取模2的整数也是一样的，所以非常简单：

例如，找到一个包含v1的方程式，并将其添加到包含v1的所有其他方程式中，以从中删除v1：

v1 XOR v2        = 1
      +
v1        XOR v3 = 0
--------------------
       v2 XOR v3 = 1

---

使用不同的方程从所有其他方程中删除v2，使用不同的方程删除v3，等等，直到所有方程只有一个变量。

我几乎在另一条评论中提到了这一点，但这似乎是一个答案，所以在这里

恐怕你是索尔。例如，给定Sx为111，一个矩阵的前导是

L1 = 100   | Sx(L1) = 1
L2 = 010   | Sx(l2) = 1
L3 = 001   | Sx(L3) = 1

还有两个等价矩阵，它们可以很容易地拟合解L3，也可以是010或100

---

此外，如果Sx为001，你将不知道L3中的哪个Vx是活动位，即使你知道L1和L2在每个变量上的系数都为0。

我几乎在另一条评论中提到了这一点，但这似乎是一个答案，所以就在这里

恐怕你是索尔。例如，给定Sx为111，一个矩阵的前导是

L1 = 100   | Sx(L1) = 1
L2 = 010   | Sx(l2) = 1
L3 = 001   | Sx(L3) = 1

还有两个等价矩阵，它们可以很容易地拟合解L3，也可以是010或100

---

此外，如果Sx为001，即使知道L1和L2在每个变量上的系数为0，您也不知道L3中的哪个Vx是活动位。

好的，要做到这一点，您需要了解一些关于xor和not以及0=false和1=true的代数规则

首先，xor同时满足结合律和交换律。如果我们将一条长链异或在一起，我们可以随心所欲地重新排列

接下来，x xor x=0。当我们加上0 xor y=y这一事实时，我们可以删除匹配的变量对

其次是替代。一个形式为x1 xor x2 xor的方程。。。xor xn=0意味着x1=x2 xor x3 xor。。。xor xn。同样地，x1异或x2异或。。。xor xn=1意味着x1=1 xor x2 xor x3 xor。。。xor xn。这些事实可以用你的其他方程式来代替。这可能会导致重复变量，然后我们可以丢弃这些变量

这意味着每一个方程都可以用来写出一个变量与其他变量的关系，然后可以代入其他方程中。这现在是一个因变量。最后我们将有三个州中的一个

1=0表示没有解决方案。 没有方程和变量了。有一个解决办法。只要向后替换就可以了。 有几个变量从未被消除，但你已经脱离了方程。这些变量是免费的。你可以将它们设置为任何值，然后得到答案。您不妨将它们设置为1。 让我用你的方程式来说明

(1) 1 = V1 xor V2 xor V3
(2) 0 = V1 xor V2
(3) 1 = V2 xor V3

从1开始，我们知道：

(4) V1 = 1 xor V2 xor V3

注意，V1已消除。将4替换为2和3，得到：

(5) 0 = V1 xor V2
      = (1 xor V2 xor V3) xor V2
      = 1 xor V3

(6) 1 = V2 xor V3

注意，6是一个微不足道的替换

从5日起，我们得到：

注意，V3已被删除。将7替换为6，我们得到：

(8) 1 = V2 xor V3
      = V2 xor 1

从8日起，我们得到：

注意，V2已消除

规则9、7和4消除了V2、V3和V1，因此只有一个解决方案。它是：

(9) V2 = 0
(7) V3 = 1
(4) V1 = 1 xor V2 xor V3 = 1 xor 0 xor 1 = 0

请注意，这完全是一个机械过程。在每一步中，我取下我留下的第一个等式，用它写出一个变量和其他变量的关系，然后把它代入其他变量。少一个等式，少一个变量。它总是有效的

---

您必须为此制定一个良好的表示和代码。但是知道你想做什么很有帮助。

好的，要做到这一点，你需要知道一些关于xor和not以及0=false的代数规则 和1=真

首先，xor同时满足结合律和交换律。如果我们将一条长链异或在一起，我们可以随心所欲地重新排列

接下来，x xor x=0。当我们加上0 xor y=y这一事实时，我们可以删除匹配的变量对

其次是替代。一个形式为x1 xor x2 xor的方程。。。xor xn=0意味着x1=x2 xor x3 xor。。。xor xn。同样地，x1异或x2异或。。。xor xn=1意味着x1=1 xor x2 xor x3 xor。。。xor xn。这些事实可以用你的其他方程式来代替。这可能会导致重复变量，然后我们可以丢弃这些变量

这意味着每一个方程都可以用来写出一个变量与其他变量的关系，然后可以代入其他方程中。这现在是一个因变量。最后我们将有三个州中的一个

1=0表示没有解决方案。 没有方程和变量了。有一个解决办法。只要向后替换就可以了。 有几个变量从未被消除，但你已经脱离了方程。这些变量是免费的。你可以将它们设置为任何值，然后得到答案。您不妨将它们设置为1。 让我用你的方程式来说明

(1) 1 = V1 xor V2 xor V3
(2) 0 = V1 xor V2
(3) 1 = V2 xor V3

从1开始，我们知道：

(4) V1 = 1 xor V2 xor V3

注意，V1已消除。将4替换为2和3，得到：

(5) 0 = V1 xor V2
      = (1 xor V2 xor V3) xor V2
      = 1 xor V3

(6) 1 = V2 xor V3

注意，6是一个微不足道的替换

从5日起，我们得到：

注意，V3已被删除。将7替换为6，我们得到：

(8) 1 = V2 xor V3
      = V2 xor 1

从8日起，我们得到：

注意，V2已消除

规则9、7和4消除了V2、V3和V1，因此只有一个解决方案。它是：

(9) V2 = 0
(7) V3 = 1
(4) V1 = 1 xor V2 xor V3 = 1 xor 0 xor 1 = 0

请注意，这完全是一个机械过程。在每一步中，我取下我留下的第一个等式，用它写出一个变量和其他变量的关系，然后把它代入其他变量。少一个等式，少一个变量。它总是有效的

您必须为此制定一个良好的表示和代码。但是知道你想做什么很有帮助。

你可以使用这个算法。例如，在Java中，它在项目中可用

您的示例可以像这样发布在的中。在引擎盖下，逻辑被调用

SatisfiabilityInstances(Xor(v1,v2,v3)&&Not(Xor(v1,v2))&&Xor(v2,v3),{v1,v2,v3})

结果:

{{False,False,True}}

您可以使用该算法。例如，在Java中，它在项目中可用

您的示例可以像这样发布在的中。在引擎盖下，逻辑被调用

SatisfiabilityInstances(Xor(v1,v2,v3)&&Not(Xor(v1,v2))&&Xor(v2,v3),{v1,v2,v3})

结果:

{{False,False,True}}

---

你能详细说明你到底想解决什么问题吗？您的示例是否意味着您试图确定哪个位设置为V3？在示例中，您通常在另一个方向求解方程组，您知道3个Vx变量的3个方程，并且您正在寻找Sx解决方案。给定Sx解决方案-你想发现一个有数千行和数千列的矩阵的方程组吗？Thx，我正在尝试反转一个算法，更准确地说是一个非安全的随机生成器。使用PRG的输出，我想找到输入的内部状态。这就是我如何得到一个xor方程的系统，我知道它的结果，我想知道它的输入。这也是为什么我知道至少有一个有效的解决方案。现在我有了方程组，但我不知道怎么解它，因为我对矩阵计算很在行：你可以把它扔给约束解算器：你能详细说明你到底想解什么吗？您的示例是否意味着您试图确定哪个位设置为V3？在示例中，您通常在另一个方向求解方程组，您知道3个Vx变量的3个方程，并且您正在寻找Sx解决方案。给定Sx解决方案-你想发现一个有数千行和数千列的矩阵的方程组吗？Thx，我正在尝试反转一个算法，更准确地说是一个非安全的随机生成器。使用PRG的输出，我想找到输入的内部状态。这就是我如何得到一个xor方程的系统，我知道它的结果，我想知道它的输入。这也是为什么我知道至少有一个有效的解决方案。现在我有了方程组，但我不知道怎么解它，因为我对矩阵计算很在行：你可以把它扔给约束解算器：谢谢。你能再描述一下如何使用高斯消去法来解决我的问题吗？或者指向在我的情况下可以工作的代码？我不是在偷懒，但我就是不懂矩阵计算！当然希望这对汉克斯有帮助。你能再描述一下如何使用高斯消去法来解决我的问题吗？或者指向在我的情况下可以工作的代码？我不是在偷懒，但我就是不懂矩阵计算！当然希望有帮助