Algorithm 图上的所有对和所有路径

这可能是一个没有最佳解决方案的问题。假设我有一个有向图，不知道它是否有循环（循环检测将是这个问题的一个方面）。给定一组顶点（可能有数百万个顶点），我需要计算给定图的所有唯一对之间的所有不同路径（没有重复顶点的路径）。我将如何着手处理这种情况

让我们来看看一种暴力方式：

• 从图中计算所有可能的对

• 对于每对图，使用DFS获取从源到目标的所有路径 目的地

• 假设这些对在哈希表中表示，则将路径计数作为该对的值
• 对其余的一对重复上述步骤

人们能指出这件事会出什么问题吗？让我们以这种方式来思考这个问题，找到地球上所有城市之间所有不同路径的计算挑战是什么？如果一个人试图解决这个问题，从哪里开始

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编辑：介绍的一些算法在O（n！）阶乘时间内产生结果。对于一台资源有限的机器来说，这是一个令人畏惧的计算。有谁知道map reduce技术可以将图形遍历问题分解为更小的块吗？

您想过有多少这样的路径可以存在吗

在这样一个有V个顶点的图中，大约有V^2个不同的对。让我们想象一个最糟糕的场景，在这个场景中，您有一个完整的图（每对图之间都有边）。路径可以在1边和V-1边之间的任意位置，因为不允许在路径中重复顶点

在每对顶点之间：

只有一条路径有一条边

有两条边的V-2路径：使用不是原点或目标的任何中间顶点

有三条边的（V-2）（V-3）路径：使用任意两个不同的中间顶点

存在具有4条边的（V-2）（V-3）（V-4）路径

存在具有n条边的prod{k=1->n-1}（V-k-1）路径

考虑到这一点，我们知道对于一个有V个顶点的图，最多有V^2*sum{i=1->V-1}（prod{k=1->i-1}（V-k-1））条总路径

因此，路径的总数是p（V）=V^2*sum{i=1->V-1}（prod{k=1->i-1}（V-k-1））=V^2*sum{i=1->V-1}（O（V^V））=O（V^3*V^V）=O（V！）

现在想象一个理想的世界，你可以在恒定的时间内计算每条路径。您的算法需要O（1*V！）=O（V！）时间才能运行，这是不合法的

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可能有一种算法可以在不枚举路径的情况下对路径进行计数，从而获得更有效的算法。

介绍了一种DFS方法，用于打印任意两个顶点之间的所有非循环路径，它还包括java代码。您可以修改它以查找所有顶点对的所有此类路径，但这不是计算所有顶点之间所有路径的最有效方法。

获得路径粗略近似值的Floyd Warshall推广如下：

 procedure FloydWarshall ()
    for k := 1 to n
       for i := 1 to n
          for j := 1 to n
             path[i][j] = path[i][j] + path[i][k]*path[k][j] 

这里有一个非常粗略的想法，如何衡量这一点。免责声明-这不是具体的-这是非常手波浪，但希望它有助于更多的困惑。这有助于理解算法的工作原理。它从图的邻接矩阵开始。在每次迭代k中，从i到j的路径数等于之前从i到j的迭代中的路径数加上通过k从i到j的路径数

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因此，将图分解为大小为k x k的n个任意子邻接矩阵，对每个子邻接矩阵进行上述计算。现在你有了路径的数量，并开始通过在组合矩阵上重新计算上面的部分来组合子矩阵。也就是说，在重新组合时，我们只需要重新计算k的n/2值。我发现了这一点，看起来方向类似。

找到周期后，您希望如何处理它们？假设给定一个图{（a，B），（B，C），（C，a），（C，D）}。在a和D之间有无数不同的路径：ABCD，ABCABCD，ABCABCD，ABCABCD。。。任何循环图的所有对之间都有无限多条不同的路径。假设你在第一次通过时标记你的顶点。在这种情况下，唯一不同的路径是ABCD。进入A->B->C->D。任何重新访问顶点的遍历都将被放弃。@sc\u-ray将该限制添加到您的问题中会得到更好的答案。“不同的路径”和“没有重复顶点的路径”不是同一回事。@Martinho Fernandes-注意点。更新post@spinning_plate：因为它需要所有对之间的所有路径，是的，ABC是a和C之间的路径。但当然不是a和D之间的路径。有人能告诉我如何“数学化”我的总和和乘积吗？谢谢你的分析。我认为这将是一些像O（V！）一样的淫秽运行时。我正在寻找实用的策略来解决这种规模的问题；和&Pi；（符号（&S）后没有空白）。请参见，这不取决于执行的顺序吗？例如，如果先在ik和kj上运行正确的迭代，从i到j到k的路径难道不存在吗？因为k是增量，我们构建了越来越长的路径。我们朝哪个方向走这些漫长的道路并不重要。