Algorithm 依赖随机结果终止的算法的最坏情况时间复杂度？

假设我们有一个递归函数，该函数仅在随机生成的参数满足某些条件时终止：

e、 g:

我知道对于无限循环，不会定义复杂性。如果某个函数确实会终止，但会在未知的时间后终止，那该怎么办

找到这个问题的平均时间复杂度就可以了。如果存在的话，人们将如何着手寻找更糟糕的案例时间复杂性

提前谢谢你

编辑：正如一些人指出的，我完全忽略了这个函数没有输入的事实。相反，假设我们有：

{define (some-recursive-function n)

    x = (random in range of 1 to n);
    if (x == 10)
    {
        return "this function has terminated";
    }
    else
    {
        (some-recursive-function)
    }
}

---

这会改变什么吗？

如果没有n的函数从上面限定函数的运行时，那么运行时就没有上限。根据具体情况，运行时可能有一个下限。我们也可以谈论预期的运行时，甚至对预期的运行时设置边界，但这一方面不同于平均情况下的边界，另一方面也不同于运行时本身的边界

正如目前所写的，当n小于10时，根本没有边界：函数在任何事件中都不会终止。对于n>=10，在任何情况下都没有上限-可能需要任意长的时间才能完成-但在任何情况下下限都是线性的（您必须至少读取n的值，该值由n=上限（对数n）位组成；选择不大于n的随机数的方法可能需要额外的时间和/或空间）。这里的案例行为相当乏味

---

如果我们根据输入的值（非长度）考虑函数的预期运行时间，我们观察到，任何特定调用选择正确的随机数（再次，对于n>＝10）有1／N的可能性；我们认识到，我们需要尝试获得一个的次数由几何分布给出，并且期望值为1/（1/n）=n。因此，预期递归深度是输入值n的线性函数，因此是输入大小n=logn的指数函数。我们恢复了期望的精确表达式；因此，上界和下界都是线性的，这涵盖了所有情况（最佳、最差、平均等）。我说递归深度，因为运行时还有一个额外的因子N=log N或更多，根据上一段的观察。

如果没有n的函数从上面限定函数的运行时间，那么运行时间就没有上限。根据具体情况，运行时可能有一个下限。我们也可以谈论预期的运行时，甚至对预期的运行时设置边界，但这一方面不同于平均情况下的边界，另一方面也不同于运行时本身的边界

正如目前所写的，当n小于10时，根本没有边界：函数在任何事件中都不会终止。对于n>=10，在任何情况下都没有上限-可能需要任意长的时间才能完成-但在任何情况下下限都是线性的（您必须至少读取n的值，该值由n=上限（对数n）位组成；选择不大于n的随机数的方法可能需要额外的时间和/或空间）。这里的案例行为相当乏味

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如果我们根据输入的值（非长度）考虑函数的预期运行时间，我们观察到，任何特定调用选择正确的随机数（再次，对于n>＝10）有1／N的可能性；我们认识到，我们需要尝试获得一个的次数由几何分布给出，并且期望值为1/（1/n）=n。因此，预期递归深度是输入值n的线性函数，因此是输入大小n=logn的指数函数。我们恢复了期望的精确表达式；因此，上界和下界都是线性的，这涵盖了所有情况（最佳、最差、平均等）。我说递归深度，因为运行时也会有一个额外的因子N=logn，或更多，这是由于前面段落中的观察。

您需要知道有“简单”计算公式复杂度的一种递归算法，当然使用递归

在这种情况下，我们显然需要知道递归算法是什么，因为在最好的情况下，它是O（1）（时间复杂性），但在最坏的情况下，我们需要将O（n）（考虑到数字可能重复）添加到算法本身的复杂性中

我将提出以下问题/答案，以获得更多便利：

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您需要知道，有一些“简单”的公式可以计算递归算法的复杂度，当然可以使用递归

在这种情况下，我们显然需要知道递归算法是什么，因为在最好的情况下，它是O（1）（时间复杂性），但在最坏的情况下，我们需要将O（n）（考虑到数字可能重复）添加到算法本身的复杂性中

我将提出以下问题/答案，以获得更多便利：

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考虑到这里并没有n，最坏的情况是无界的，要找到形式O（f（n））的复杂性将是一个挑战。也使用随机数进行排序。最坏的情况不是无限的吗？无法保证某个范围内的给定数字会被随机选择。您的意思是在递归调用中传递

n

，还是

x

？@IlyaBursov这仍然不是保证，只是非常不可能。最坏的情况意味着最坏的情况，这意味着可怜的小10永远不会被调用。考虑到这里并没有n，所以要找到形式O（f（n））的复杂性是很有挑战性的，因为这里的最坏情况是无界的。也使用随机数进行排序。最坏的情况不是无限的吗？不能保证一个给定的数字

{define (some-recursive-function n)

    x = (random in range of 1 to n);
    if (x == 10)
    {
        return "this function has terminated";
    }
    else
    {
        (some-recursive-function)
    }
}