Algorithm 这个嵌套for循环重复加倍其计数器的代码的复杂性是什么？

在《编程访谈》一书中，它说下面程序的复杂性是O（N），但我不明白这是怎么可能的。有人能解释为什么会这样吗

int var = 2;
for (int i = 0; i < N; i++) {
   for (int j = i+1; j < N; j *= 2) {
      var += var;
   }
}

int-var=2；
对于（int i=0；i

你需要一点数学知识才能明白这一点。内部循环迭代

Θ（1+log[N/（i+1）]）

次（由于

i>=N/2

，

[N/（i+1）]=1

且对数为0，循环迭代一次，因此

1+

是必需的）

j

取值

（i+1）*2^k

，直到它至少与

N

一样大，并且

(i+1)*2^k >= N <=> 2^k >= N/(i+1) <=> k >= log_2 (N/(i+1))

现在，他告诉我们

---

因此，我们发现所做的总功确实是

O（N）

@Daniel Fischer的答案是正确的

我想补充一点，该算法的准确运行时间如下：

这意味着：

---

外循环运行

n次。现在一切都取决于内部循环。

内部循环现在是一个棘手的问题

让我们如下：

i=0 --> j=1             ---> log(n) iterations
...
...
i=(n/2)-1 --> j=n/2     ---> 1 iteration.
i=(n/2) -->   j=(n/2)+1 --->1 iteration.


i>（n/2）-->1次迭代
（n/2）-1>=i>（n/4）-->2次迭代
（n/4）>=i>（n/8）-->3次迭代
（n/8）>=i>（n/16）-->4次迭代
（n/16）>=i>（n/32）-->5次迭代
（n/2）*1+（n/4）*2+（n/8）*3+（n/16）*4+…+[n/（2^i）]*i
N-1
n*∑ [i/（2^i）]=<2*n
i=0
-->O（n）
“它说”什么？告诉我们你在这里假设的是什么。我做了编辑，很抱歉含糊不清。这个循环结构与heapify算法的循环结构密切相关，分析将非常相似。ASCII方程的功劳/Art你是指第二个框中的
j
而不是
I
，不。我的意思是
I
，当外循环在这些范围内时，j将被分配
1 2 3 4 5…
不同的值（迭代次数）顺便说一句，很好的声誉增益：）。几天前你有800个，但是
j
是指数增长的变量，而不是像
i
那样线性增长的变量？我不认为迭代次数会像你说的那样线性增加。@meowgoesthedog当然j是指数增长的。当
i
为n/2时，j将为n/2+1，然后循环将中断。因此，在内部循环停止之前，j只有
1个值（运行了一次迭代）。不，当
i=n/2
时，内部循环不会中断（事实上，直到
i=n-1
），因为
j*=2
发生在第一次内部循环迭代之后，并且只有到那时内部循环才会中断。谢谢：）我很幸运
log N! = N*log N - N + O(log N)

i=0 --> j=1             ---> log(n) iterations
...
...
i=(n/2)-1 --> j=n/2     ---> 1 iteration.
i=(n/2) -->   j=(n/2)+1 --->1 iteration.

i > (n/2)            ---> 1 iteration
(n/2)-1 >= i > (n/4) ---> 2 iterations
(n/4) >= i > (n/8)   ---> 3 iterations
(n/8) >= i > (n/16)  ---> 4 iterations   
(n/16) >= i > (n/32) ---> 5 iterations

(n/2)*1 + (n/4)*2 + (n/8)*3 + (n/16)*4 + ... + [n/(2^i)]*i

   N-1                                   
 n*∑ [i/(2^i)] =< 2*n
   i=0  

--> O(n)