Algorithm 图强连通的线性时间算法

我们有一个弱无环有向图

此外，我们还给出了一个集合a和集合B，集合a包含G的顶点，这些顶点的阶数为零，集合B包含的顶点的阶数为零。（A的尺寸小于B的尺寸）

除此之外，我们还知道，如果A和B中的项目具有特定顺序（例如A=a1、a2、…、am和B=b1、b2、…、bn），则DFS从ai访问bi（1）开始≤ 我≤ m）

是否有可能设计一个线性时间算法，通过向其添加尽可能少的边，使G强连接？

为j=1，…，m-1添加弧bj->aj+1，为j=m，…，n添加弧bj->a1

生成的图是强连接的，因为a和b通过添加的弧和从ai到bi的路径是强连接的，并且对于每个节点x，存在i，j，使得原始图中存在从ai到x的路径以及从x到bj的路径

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我们不能使用更少的弧，因为必须向b1、…、bn中的每一个添加一个传出弧。

编辑-以下不会生成具有最少链接的解决方案：

你可以在线性时间内跑步。我建议您这样做，并注意“在任何后续组件之前不会识别强连接组件”。因此，图中的第一个强组件不能是任何其他组件的后续组件。我建议，每次您发出一个强连接的组件（没有后续组件），然后添加一个链接，将其连接到第一个组件。我建议您在每次实质上通过对strongconnect（）的非递归调用重新启动Tarjan算法时也添加一个链接，将第一个组件连接到重新启动的顶点

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通过这些链接，您可以从第一个强组件到每个其他组件，以及从每个其他组件到第一个强组件。-不幸的是，这不一定是链接最少的解决方案-请参阅下面Per的第二条评论。

“DFS从ai访问bi（1）开始≤ 我≤ m） “不明白。（1）A中有重复元素，B中为空，或者（2）你的图有一个特殊的性质，从零度的顶点开始，我们可以得到严格的零度以外的一个顶点（3）没有这些（在这种情况下给出你的解释）。这很简单。但有一个问题。我所问的原始声明中有歧义。如果你有一个有向无环图，它的无向版本是一个连通图，有向零度（a）的顶点数小于或等于无向零度（B）的顶点数，这并不意味着你在a和B之间有匹配。如果你能证明这一点，就去做吧。没有这个事实，这不是答案。@智慧之风为什么我必须证明当前问题措辞中的假设？这个解决方案可能有问题。考虑一个由两个环组成的图，x和y，以及孤立点。从X到Y以及从Y到隔离点之间存在一个链接。孤立点是集合B的唯一成员。它作为一个非循环图连接，但不是强连接，因为你无法从Y到X，或从孤立节点到Y。因为A没有元素，你的建议不会添加任何链接。我问过（你的图是否有特殊属性）（DFS从ai访问bi（1）开始）≤ 我≤ m） ）？作者问：“A和B是一组顶点，它们没有提供额外的信息”。这是因为具有指定属性的图可能没有A到B匹配（其中A和B是A集）@mcdowella A和B是非空的，因为G被假定为非循环的。如何处理多个没有前导的组件？我的意图是，没有前导的辅助组件是Tarjan算法通过非递归调用重新启动的组件，因此它们从第一个组件获得链接，并且可以从第一个组件访问。他们的继任者，或他们自己，获得了第一个组件的链接，完成了这个循环。然而，由于我在你的答案上提出的观点是错误的，也许我在这里也错了？如果我正确理解了你的算法，那么在图{a1->b1，a1->b2，a2->b2}上，强分量{a1}可能是第一个发射的，然后是{b1}和{b2}，因此b1和b2获得了返回a1的链接。连接a1和a2总共需要3个链路，而连接b1->a2、b2->a1需要2个链路。