Algorithm 金字塔动态规划

我在一次采访中遇到了这个问题，无法理解。我相信它有一个动态规划的解决方案，但它逃避我

给定砖块数量，输出可能的二维棱锥体总数，其中棱锥体定义为砖块行的砖块数严格小于其下一行的任何结构。你不必使用所有的砖头

一块砖就是一个正方形，一排砖的数量是唯一重要的信息

我真的很坚持这一点，我想它将很容易解决每个问题1…n迭代和总和。但是，用我的砖块计算出可能的金字塔的数量是在回避我

示例，n=6

X

XX

X
XX   XXX

X
XXX   XXXX

XX      X
XXX   XXXX   XXXXX

X
XX      XX       X
XXX   XXXX   XXXXX   XXXXXX

所以答案是6块砖头上有13个可能的金字塔

编辑

我敢肯定这是一个动态规划问题，因为（一旦你确定了第一行）只需查看剩余砖块的记忆数组中的索引，就可以看到顶部有多少金字塔

也有必要考虑底行宽度至少N／2，因为我们不能有更多的砖头比底部的行<强>除< /强>，这是我失去它的地方，我的心智崩溃，在某些情况下，你可以，即n＝10＜/p>

X
XX
XXX
XXXX

现在最下面一行有4个，但还有6个放在上面

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但是，如果n=11，则底部的一行砖数不能少于n/2。还有另一个类似于n=4的wierd不一致性，其中我们不能有底部一行n/2=2块砖。

有多少种方法可以构建一个宽度为n的金字塔？将任何宽度为n-1或更小的棱锥放置在n砖层的顶部。因此，如果p（n）是宽度为n的金字塔的数量，那么p（n）=和[m=1到n-1]（p（m）*c（n，m）），其中c（n，m）是可以将宽度为m的层放置在宽度为n的层上的方法的数量（我相信你自己可以解决这个问题）

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然而，这并不限制砖块的数量。通常，在DP中，任何资源限制都必须作为单独的维度建模。所以你现在的问题是p（n，b）：“你能用总共b块砖建造多少个宽度为n的金字塔”？在递归公式中，对于在当前金字塔上构建较小金字塔的每种可能方式，您需要参考剩余砖块的正确数量。我把它作为一个挑战留给你们去解决递归公式；如果您需要任何提示，请告诉我。

您可以将您的递归想象为：给定最后一行使用的

n

砖块所剩的

x

砖块，您可以构建多少个金字塔。现在您可以从上到下或从下到上填充行。我将解释前一种情况。
这里的递归可能看起来像这样（

left

是剩余的砖块数，

last

是最后一行使用的砖块数）

因为当您在当前行上使用

i

砖块时，您将剩下

left-i

砖块，并且

i

将是此行使用的砖块数量

代码：

int-calc（int-left，int-last）{
int-total=0；
如果（左让我们选择一个合适的定义：

f(n, m) = # pyramids out of n bricks with base of size < m

我们来分析一下：


第一个是显而易见的：那是你的砖块数
您的最下面一行最多包含
N
块（因为这就是您所拥有的全部），因此
N+1
是一个足够的下限
最后，之所以存在
-1
，是因为从技术上讲，空金字塔也是一个金字塔（因此将被计算），但您将其从解决方案中排除


基本情况很简单：

f(n, 0) = 1   for any n >= 0
f(0, m) = 1   for any m >= 0

在这两种情况下，我们计算的都是空金字塔


现在，我们所需要的仍然是一般情况下的递归公式

让我们假设我们得到
n
和
m
，并选择在底层有
i
砖。我们可以在这一层的顶部放置什么？一个较小的金字塔，我们剩下
n-i
砖，其底部有大小
。这正是
f（n-i，i）

<代码> > <代码>的范围是什么？我们可以选择一个空行，所以<代码> i>＝0 < /代码>。很明显，<代码> i> p>因为我们被要求对小于或等于<代码> n>代码>的任何基数的金字塔进行计数，我们可以依次考虑每个基数（1元素、2元素、3……的金字塔）。但是我们可以用多少种不同的方式从
k
元素组成一个金字塔呢？与
k
的不同分区的计数相同（例如，对于
k=6
，我们可以有
（6）、（1,5）、（2,4）和（1,2,3）
）.中描述了不同分区计数的生成函数/递归，并在中给出了一个序列

重复性，基于：

由于Wikipedia中描述的重复性要求计算所有前面的
q（n）
，以得到更大的
q（n）
，因此我们可以简单地将结果相加以获得结果

JavaScript代码：

函数numPyramids（n）{
变量distinctPartitions=[1,1]，
五边形={}，
m=_m=1，
五边形_m=2，
结果=1；
而（五边形）m/2我没有考虑宽度（底行）作为一个尺寸。我只是想用n块砖来创建一些金字塔。例如，如果n=3，对于I=1，我们有一块单独的砖作为金字塔，对于I=2，我们有一行2，对于I=3，我们有（3）和（2，1）。我如何使用宽度作为约束？根据砖块的数量，宽度可能会改变。我很有信心，使用所有的n块砖块，我们可以在底部的n和n/2块砖块之间使用k，尽管我不知道如何证明。然后，对于每一块砖块，我们添加一个+我们可以在顶部使用n-k块建造的金字塔的数量。钻机ht轨道？@shane:我忘了提那件事，但事实上，你需要试试
f(n, m) = # pyramids out of n bricks with base of size < m

f(N, N+1) - 1

f(n, 0) = 1   for any n >= 0
f(0, m) = 1   for any m >= 0

f(n, m) = sum f(n - i, i) for 0 <= i <= min(n, m - 1)

f(N, N + k) = sum f(N - i, i) for 0 <= i <= min(N, N + k - 1)
            = sum f(N - i, i) for 0 <= i <= N
            = sum f(N - i, i) for 0 <= i <= min(N, N + 1 - 1)

q(k) = ak + q(k − 1) + q(k − 2) − q(k − 5) − q(k − 7) + q(k − 12) + q(k − 15) − q(k − 22)...
  where ak is (−1)^(abs(m)) if k = 3*m^2 − m for some integer m and is 0 otherwise.

(The subtracted coefficients are generalized pentagonal numbers.)