Algorithm 查找O（1）时间内的最远点

考虑平面上n个点的集合，使得最远的一对点的距离最多为1。我想在O（1）时间内找到给定查询点q（不是S）的最远点。如何预处理S中的点以达到所需的查询时限

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这可能吗？

假设这些点之间没有关系，没有一个操作可以给出最远的点。所以，唯一的方法就是提前计算，所以你需要在每个点和离它最远的点之间建立一个简单的映射。这是平面直线图中的点定位问题，已知需要O（log（N））查询时间

无论如何，它可以通过网格化近似地解决

在最远的点Voronoi图上覆盖一个正方形网格，并为每个单元格记录它覆盖的区域。确保覆盖区域的数量是有界的。这可以通过采用小于图中两个最近顶点距离的栅格间距来近似实现

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对于查询像素，查找包含的单元格是在固定时间内完成的。然后，在一个有界数字中找到区域也需要恒定的时间。

您的意思是这些点存储在“集合”类型的数据结构中吗？因为我很确定这将是“不”。我只是想知道，

q

在

s

中吗？如果不是，我下面的答案就不合适了。我怎么看，

q

取自

E^2

。也就是说，如果查询点集是无限制的，那么O（1）查找是不可能的。当您获得动态输入时，您要求预处理结果，我认为这是不可能的。我建议您查看

凸面外壳

。这可能会解决您的问题。“因此，您需要在每个点和离它最远的点之间进行简单的映射。”-查询点集是不受限制的。你建议如何存储映射？刚刚被同样的问题绊倒了，

q

是否在

S

（使其受限）中+1，但我猜O（logn）下界是针对一般直线图的——难道所有最远点Voronoi图都不可能是特殊类型的直线图吗，哪种更快的算法可能存在？（我认为一个明确的“否”答案需要证明每个直线图都是某个点集的最远点Voronoi图……我对这些图没有直觉，但我的第一个想法是这似乎不太可能。）@j_random_hacker:最远点Voronoi图只有H区域（凸包上的点数），导致查询复杂度O（log（H）），这可能比O（log（N））好。另一方面，我猜凸包的2H自由度被图所保留，我不相信亚对数复杂性是可能的。