Algorithm 如何证明均匀划分是快速排序算法的最佳情况？

为什么我们说快速排序的最佳情况是“每次执行分区时，我们将列表分成两个几乎相等的部分”？如何证明这正是所谓的“最佳情况”？

采用长度为

2^N的数组（为了简单起见）

比较每个阶段的完美分割情况（
N
分为
N/2+N/2
）和分段长度
N
分为
1
和
N-1
的操作数，采用长度
2^N
的数组（为简单起见）

比较每个阶段完美分割的情况（
N
分为
N/2+N/2
）和分段长度
N
分为
1
和
N-1
我创建了一个程序，而不是试图进行分析。我比较了1/2,1/2（50%50%）和1/4,3/4（25%75%）的拆分情况，随着n变得越来越大，似乎需要多做22%的操作。为1/4,3/4拆分设置代码：对于1/2,1/2拆分，将行从left=（n+3）/4更改为left=（n+1）/2。左上舍入的要点是确保left>=1，以避免无限递归

#include <stdio.h>
typedef unsigned long long uint64_t;
static uint64_t sum;

void qsa(uint64_t n)
{
uint64_t left, right;
    if(n < 2)
        return;
    sum += n;
    left = (n+3)/4;         /* or left = (n+1)/2  */
    right = n - left;
    qsa(left);
    qsa(right);
}

int main()
{
    qsa(1024*1024);
    printf("%llu\n", sum);
    return(0);
}

我创建了一个程序，而不是试图进行分析。我比较了1/2,1/2（50%50%）和1/4,3/4（25%75%）的拆分情况，随着n变得越来越大，似乎需要多做22%的操作。为1/4,3/4拆分设置代码：对于1/2,1/2拆分，将行从left=（n+3）/4更改为left=（n+1）/2。左上舍入的要点是确保left>=1，以避免无限递归

#include <stdio.h>
typedef unsigned long long uint64_t;
static uint64_t sum;

void qsa(uint64_t n)
{
uint64_t left, right;
    if(n < 2)
        return;
    sum += n;
    left = (n+3)/4;         /* or left = (n+1)/2  */
    right = n - left;
    qsa(left);
    qsa(right);
}

int main()
{
    qsa(1024*1024);
    printf("%llu\n", sum);
    return(0);
}

如果您证明在这种情况下复杂性为O（n.log（n）），那么您证明了这是一种最佳情况，因为使用比较进行排序至少需要O（n.log（n））。要证明它是唯一的最佳情况要困难得多，你必须证明任何其他分区模式都会导致更大的复杂性。@Jean BaptisteYunès-任何导致固定比率的分区方案，例如总是将分区拆分为1/4和3/4大小，也是O（n log（n））。要证明这比分裂成1/2和1/2更糟糕，正如你所提到的，这有点困难。@rcgldr是的，这只会修改日志的底部，但在极值（分裂1 | n-1）或（k | n-k）中的任何常数k，你会陷入O（n^2）。这就是我的意思。如果你证明在这种情况下复杂性是O（n.log（n）），那么你证明了这是一个最好的情况，因为使用比较进行排序至少要花费O（n.log（n））。要证明它是唯一的最佳情况要困难得多，你必须证明任何其他分区模式都会导致更大的复杂性。@Jean BaptisteYunès-任何导致固定比率的分区方案，例如总是将分区拆分为1/4和3/4大小，也是O（n log（n））。要证明这比分裂成1/2和1/2更糟糕，正如你所提到的，这有点困难。@rcgldr是的，这只会修改日志的底部，但在极值（分裂1 | n-1）或（k | n-k）中的任何常数k，你会陷入O（n^2）。这就是我的意思。