Algorithm 条件下树遍历和节点值求和的最优解

大家好，我有算法问题，我努力寻找最佳解决方案。我有一棵我想穿过的树。树的节点由值和节点的秩组成（值和秩可以是随机数）

我要做的是遍历树，对于每个节点，我要对所有子节点的值求和，除了具有较低秩的子节点和它们下面的所有节点（不考虑秩）。树没有任何特殊属性，因为每个节点都可以有一个或多个子节点。关于等级或价值观，父母和子女之间的关系没有适用的规则

我最天真的解决方案是递归地遍历每个节点的子树，并在找到秩较低的节点时立即停止递归，在返回子树根的过程中求和值。然而，我觉得这是次优的解决方案（在最坏的情况下-即每个节点只有一个子代-其基本链表和列组按升序排序到根-此解决方案为O（n^2））

在一次遍历之后，是否可以对所有节点求和

编辑： 这个解决方案稍微好一点，因为我的天真方法可以为每个访问的节点递归地将其值传播回根，同时保持访问节点的最小秩（在回根遍历期间）。然后仅向低于最小秩的节点添加值。

编辑 回答不正确，无法解决OP提出的问题（cf评论）
旧答案（编辑前） 您可以看到，这个问题（与树上的大多数问题一样）可以通过递归方法解决。这是因为节点的

和值

仅取决于其子节点的

和值

及其相应的

等级

下面是描述解决方案的伪代码

get_sum(my_node, result_arr):
    my_sum = 0
    for child in my_node.children():
        get_sum(child, result_arr)        // we compute the sum value of the children
        if rank(child) >= rank(my_node):  // if child node is big enough add its sum
            my_sum += result_arr[child]
     result_arr[my_node] = my_sum         // store the result somewhere

---

这是一个基于BFS的算法，应该在

O（n）

中运行，并使用树中的

n

节点数。要获取所有节点的值，请在树的根节点上调用此递归函数。

从我的手机编辑：因为我们只检查树根的值，所以我们可以使用不相交集结构，仅使用路径压缩，而不是动态树。不要费心更新非根

这里有一个O（nlogn）时间算法，它使用了。（我知道。实施起来很痛苦。我尽量不把它们包括在回答中。）

将节点从最大到最小排序，并使用其值初始化完全断开连接的动态树。对于顺序中的每个节点，向

报告其当前值（O（对数n）摊销，最终输出该值），以及

如果不是根，则将其值添加到每个祖先的值（O（logn）摊销），然后将其链接到其父级（也是O（logn）摊销）

---

步骤2的效果是，每个节点的动态值是其子节点（相对于当前树）原始值的总和。

我建议您使用后固定DFS。对于每个节点，保留其前一个节点的引用

• 叶子的

  按秩求和

  是一个空目录
• 任何节点的

  按秩求和

  是所有子节点的dict

  秩->所有子节点的值

  。如果两个或多个子节点具有相同的秩，只需添加它们的值即可

postfixed DFS允许您自下而上计算总和

下面是一些Python 3.7程序（代码可能未经优化）：

因此，要获得节点的

和

，只需添加与大于或等于节点秩的秩相关联的值。在Python中：

sum(value for rank, value in node.sum_by_rank.items() where rank >= node.rank)

---

让

a、b、c

成为节点。假设

a

是祖先或

b

，而

b

是

c

的祖先

观察：如果

b.rank>c.rank

和

a.rank>b.rank

则

a.rank>c.rank

。 这导致我们得出这样的结论：

a

的

sum\u-by-rank

等于

sum\u-by-rank（b）+b.value

对于

a

的每个

b

直接子级，其秩低于

a

这表明了以下递归：

ComputeRank(v)
    if v is null
       return

    let sum = 0
    foreach child in v.children
        ComputeRank(child)
        if child.rank <= v.rank 
            sum += child.sumByRank + child.value

    v.sumByRank = sum

ComputeRank（v）
如果v为空
返回
设和=0
在v.children中foreach儿童
电脑银行（儿童）
如果child.rank谢谢你的回答@m.raynal，但这对我的情况不太合适。想象一下根为0的树，任何其他节点的秩都大于0。在根目录中，应该有来自所有节点的求和值（因为它的所有子节点都有更高的秩）。让我们假设根的子代具有秩2，所有其他子代具有秩1。根子节点中的和将为0，因为其所有子节点的秩都较低。所以我们得到状态，当我们期望根有所有节点的和，但是因为所有根子节点的和是0，我们得到0。好的，我没有很好地理解这个问题。我将编辑此解决方案以提供线性答案。@jferrad感谢您的回答，但这在我的特殊情况下不起作用-我将使用我先前评论中的示例。想象一下根为0的树，任何其他节点的秩都大于0。在根目录中，应该有来自所有节点的求和值（因为它的所有子节点都有更高的秩）。让我们假设根的子代具有秩2，所有其他子代具有秩1。根子节点中的和将为0，因为其所有子节点的秩都较低。所以当我们期望根节点有所有节点的和时，我们得到状态，但因为所有根子节点的和是0，我们得到0。@EddGarcia请参见我的编辑。解决方案是O（n），但实现可能会有所改进。@EddGarcia我认为复杂性是O（n），但我现在有一个严重的疑问，因为我们在树的每一层计算dict。
ComputeRank(v)
    if v is null
       return

    let sum = 0
    foreach child in v.children
        ComputeRank(child)
        if child.rank <= v.rank 
            sum += child.sumByRank + child.value

    v.sumByRank = sum