Algorithm 寻找64位以上数字的快速确定素性测试

我一直在寻找确定一个数字是否为素数的方法，但大多数方法要么是概率的（Miller-Rabin），要么是小于64位的数字

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另一种解决方案是使用蛮力方法，并进行一些改进或筛选，但当数字超过64位阈值时，这两种方法都不是很有效。

您要查找的内容不存在。没有一种简单的确定素性测试能够始终适用于所有整数范围

你已经知道米勒-拉宾测试了。它可以确定特定的范围；有关详细信息，请参阅或。如果假设Riemann假设，那么n是素数，如果n是所有整数a的a-SPRP（Miller强伪素数），且1 对于n到2128的数字，计算n的系数并不难− 1并使用Pocklington测试来证明素性。您可以使用试用除法、Pollard rho或ECM来执行因式分解。还有一些测试（）可以基于部分因子分解证明素性。更大的n也可以用Pocklington检验证明为素数，尽管有时分解会变得困难

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对于高达101000的n，快速ECPP素数测试并非不合理，但对于该范围内的较大数字，可能需要一段时间。除此之外，除非你的数字有某种特殊的形式，否则你的运气很差。

我假设你想要的是一个可证明正确的答案，而不是完全避免随机性

进行几轮米勒-拉宾素性测试。如果失败，你知道这个数字是复合的，你就完成了

因式分解n-1。为此，最简单的是Pollard的rho算法。如果速度不够快，使用二次筛

使用相同的方法递归检查因子是否为素数。如果它们是复合的，继续分解它们

使用Lucas素性检验：尝试找到n-1阶模n的乘法群的生成元。选取一个随机数a，检查a^（n-1）=1（mod n），以及a^（（n-1）/p）≠ 1（mod n）表示n-1的所有素因子p。如果这是真的，a是一个生成器，n是一个可证明的素数，那么就完成了

如果n为素数，则成功找到生成器的概率为（1-1/p1）（1-1/p2）。。。其中p1，p2。。。是n-1的不同素因子。这至少是1/O（日志n）。所以在O（logn）尝试之后，你应该成功地证明了n是素数

如果你一直无法证明n是素数，回到步骤1。也许它毕竟是复合材料

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数字的长度有上限吗？例如，65位、28位、2000万位……目前，如果可能的话，我希望能够至少达到128位。您的计算机故障概率有限，因此给出了错误的答案。如果您运行了足够多的M-R测试，那么您可以确保计算机出现故障的可能性比M-R测试更大，从而为您提供了一个复合数字。另一种选择是看一看，这是确定的，但可能很慢。但有多少会“足够”？@罗伯特。M-R测试将质数报告为复合数的可能性为25%。如果运行

n

独立的M-R测试，则有

2^（-2n）

的可能是组合被错误地标记为素数。因此，如果你对一个数字运行128次测试，那么它被错误地标记为素数的可能性是1/2^256。实际上，我确实希望完全避免随机性。我想百分之百肯定（除了电脑错误）的答案。。。然而，如果我也想要速度，这似乎很难或不可能。这个算法使用随机性，但它只影响性能，而不影响正确性。一旦它产生了答案，答案是100%保证是正确的。如果你想有一个确定性的版本，你可以使用“1，2，3，4，…”而不是随机数，或一些简单的伪随机序列。在这种情况下，很难证明它需要多长时间，但它仍然有效。好吧，但米勒拉宾的问题是，如果它说一个数字是复合的，它总是对的，但如果它说这个数字是素数，它就不对了，对吗？如果我沿着1,2,3,4的路线走下去，它会不会比蛮力法更糟糕呢？可以证明，如果你随机选择你的基数，米勒-拉宾法至少会在3/4的时间内有效（证明这个数字是复合的），而卢卡斯法至少会在1/O的时间内有效（证明这个数字是素数）。两者都是“合理的经常”。如果你按照1,2,3,4的顺序进行，证明并不十分有效，但在实践中，你也可能同样快速地找到一个工作基础。它们只是很多，没有先验的理由认为小数字不太可能起作用。我将在我的博客上查看这个Pocklington测试，我有和。