Algorithm 短长度循环卷积的优化

我有两个8个无符号字节的序列，我需要计算它们的循环卷积，这会产生8个无符号19位整数。当我重复这百万次时，我想要优化

简单的方法需要64个MAC操作。我已经知道如何通过SSE/AVX指令来加速这一过程，这不是我想要的

是否有另一种方法，可能是基于FFT或数论变换来减少运算次数或其他技术来获得一些加速

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实际上，我不需要8个值：最大值和相应的移位就足够了。

循环卷积可以通过对每个输入进行离散傅里叶变换（DFT），乘以变换，然后进行逆DFT来计算。使用快速傅里叶变换算法，DFT及其逆可以在

N*log（N）

运算中计算，然后再进行N次运算以将变换相乘。因此，粗略地说，您需要

3N*log（N）+N

操作，对于8的输入大小计算为80。而且，FFT方法中的运算是复数运算，而不仅仅是MAC运算

但是，还有一个优化：因为输入数据是真实的，所以可以在不丢失信息的情况下用N/2+1复杂点表示变换。存在利用此属性的实值变换（和逆变换）。根据经验，这相当于执行长度为一半的变换。因此，如果我们将4插入

3N*log（N）+N

，我们得到28。现在我们需要考虑复数问题：一个复数乘法是两个乘法，每个实数分量和虚分量都是一个加法。所以每个复数运算大约相当于3个MAC，我们看到这仍然比直接卷积慢

随着数据量越来越大，FFT方法确实开始发挥作用。如果使用2048个长输入，则操作数为3*10240+1024=34k。即使将复数开销乘以3，这与直接实现的~4M操作相比也非常有利

FFT方法值得考虑的另一种情况是，如果需要将一个数组与多个数组进行卷积，或者将所有数组与所有数组进行卷积。在这种情况下，您可以计算一次输入转换并重用它们。对于K序列，如果需要执行所有K^2交叉卷积，可以执行K变换、K^2复数数组乘法和K^2逆变换。对于输入大小为8的10个数组，这少于1500个复数操作（

10*4*log（4）+500+100*4*log（4）

用于输入、转换乘法和输出）。执行直接方法需要

100*64

MAC，因此FFT方法胜出

但对于成对的情况，一个好的直接实现似乎是轻而易举的赢家。

在“快速傅立叶变换和卷积算法”中，Nussbaumer报告了一种优化方法，使用14次乘法和46次加法计算8项卷积（在实数上）。我怀疑用标准算术能做得更好

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我觉得费马/欧拉数变换是相关的，但我无法填写细节。

你能澄清一下“8个无符号19位整数”吗？您的意思是有19个输出值，每个值都是8位数字吗？或者，您的意思是在每个输出样本中最多有19个有效位？还有，你们有一百万双吗？或者你是在比较一个序列和一百万个其他序列？或者你有一百万个序列，你需要所有的交叉卷积吗？@mtrw循环卷积产生8个结果（8 x 255²量级）。假设所有对都是不同的。根据用例的细节，在多核GPU上进行计算可能会产生很大的加速。通用FFT是不可能的，但是对于tiny

N

有优化版本。