Algorithm 什么是伪多项式时间？它与多项式时间有何不同？

是什么？它与多项式时间有何不同？一些以伪多项式时间运行的算法具有O（nW）（用于）或O等运行时(√n） （用于）；为什么不能算作多项式时间？

要理解多项式时间和伪多项式时间之间的区别，我们需要从形式化“多项式时间”的含义开始

多项式时间的常见直觉是“时间O（nk）对于某些k。”例如，在时间O（n2）中运行，这是多项式时间，而暴力求解需要时间O（n·n！），这不是多项式时间

这些运行时都引用一些跟踪输入大小的变量n。例如，在选择排序中，n表示数组中的元素数，而在TSP中，n表示图形中的节点数。为了使“n”在本文中的实际含义的定义标准化，时间复杂性的正式定义将问题的“大小”定义如下：

问题输入的大小是写出该输入所需的位数

例如，如果排序算法的输入是32位整数的数组，那么输入的大小将是32n，其中n是数组中的条目数。在具有n个节点和m条边的图中，输入可以指定为所有节点的列表，后跟所有边的列表，这需要Ω（n+m）位

根据该定义，多项式时间的形式定义如下：

如果某个常数k的运行时间为O（xk），则该算法在多项式时间内运行，其中x表示给定给该算法的输入位数

当使用处理图形、列表、树等的算法时，此定义或多或少与常规定义一致。例如，假设您有一个排序算法，它对32位整数数组进行排序。如果使用类似于选择排序的方法来执行此操作，那么作为数组中输入元素数量的函数，运行时将为O（n2）。但是，输入数组中的元素数n如何对应于输入的位数呢？如前所述，输入的位数将为x=32n。因此，如果我们用x而不是n来表示算法的运行时间，我们得到运行时间是O（x2），因此算法在多项式时间内运行

类似地，假设对一个图执行此操作，这需要时间O（m+n），其中m是图中的边数，n是节点数。这与给定的输入位数有什么关系？好的，如果我们假设输入被指定为一个邻接列表（所有节点和边的列表），那么正如前面提到的，输入位数将是x=Ω（m+n）。因此，运行时间将为O（x），因此算法以多项式时间运行

然而，当我们开始讨论对数字进行运算的算法时，情况就不一样了。让我们考虑测试一个数是否为素数的问题。给定一个数字n，您可以使用以下算法测试n是否为素数：

function isPrime(n):
    for i from 2 to n - 1:
        if (n mod i) = 0, return false
    return true

那么这段代码的时间复杂度是多少？好的，内部循环运行O（n）次，每次都要做一些工作来计算n mod i（作为一个非常保守的上界，这当然可以在时间O（n3）中完成）。因此，整个算法在时间O（n4）内运行，并且可能更快

2004年，三位计算机科学家发表了一篇题为“给出一个多项式时间算法来测试一个数字是否是素数”的论文。这被认为是一个里程碑式的结果。那有什么大不了的？我们不是已经有了一个多项式时间算法，也就是上面的那个吗

不幸的是，我们没有。请记住，时间复杂度的正式定义将算法的复杂度作为输入位数的函数。我们的算法在时间O（n4）内运行，但它作为输入位数的函数是什么？好吧，写出数字n需要O（logn）位。因此，如果我们将x设为写出输入n所需的位数，那么该算法的运行时间实际上是O（24x），这不是x中的多项式

这是多项式时间和伪多项式时间区别的核心。一方面，我们的算法是O（n4），它看起来像一个多项式，但另一方面，在多项式时间的形式定义下，它不是多项式时间

要直观地了解该算法为何不是多项式时间算法，请考虑以下内容。假设我想让算法做很多工作。如果我这样写一个输入：

10001010101011

然后需要一些最坏情况下的时间，比如说

T

，才能完成。如果我现在在数字的末尾添加一位，如下所示：

100010101010111

运行时间现在（在最坏的情况下）为2T。只需再增加一位，我就可以使算法的工作量加倍

如果运行时是输入数值中的某个多项式，而不是表示它所需的位数，则算法在伪多项式时间内运行。我们的主要测试算法是伪多项式时间算法，因为它在时间O（n4）内运行，但它不是多项式时间算法，因为作为写入输入所需的位数x的函数，运行时间是O（24x）。“PRIMES in P”这篇论文之所以如此重要，是因为它的运行时间（大致）是O（log12n），作为位数的函数，它是O（x12）

那么，这有什么关系呢？我们有很多伪多项式时间的整数分解算法。然而，从技术上讲，这些算法是指数时间算法。这对于密码学非常有用：如果您想使用RSA加密，您需要能够相信我们无法轻松地计算数字。通过增加数量

// Input:
// Values (stored in array v) 
// Weights (stored in array w)
// Number of distinct items (n) //
Knapsack capacity (W) 
for w from 0 to W 
    do   m[0, w] := 0 
end for  
for i from 1 to n do  
        for j from 0 to W do
               if j >= w[i] then 
                      m[i, j] := max(m[i-1, j], m[i-1, j-w[i]] + v[i]) 
              else 
                      m[i, j] := m[i-1, j]
              end if
       end for 
end for

i.e. size of input= s =log(W) (log= log base 2)
-> 2^(s)=2^(log(W))
-> 2^(s)=W  (because  2^(log(x)) = x)