Algorithm 为什么背包问题不能用动态规划算法在多项式时间内求解？

我看到了这个解释，但还是不能完全理解。 如果我们遵循以下逻辑：假设某个算法在O（n）时间内工作，那么： 让我们假设二进制项中的n=1000（4位长） 所以时间复杂度

T（n）=O（8）

让我们把输入的大小增加一倍<代码>n=10000000（8位长）T（n）=O（128） 时间以指数形式增加，所以这意味着

O（n）

不是多项式时间

问题是：“多项式作为什么的函数？”。当我们确定算法的复杂性时，我们通常（但并非总是）将其表示为输入长度的函数。通常，但并非总是，此长度由字母

n

表示。例如，如果研究涉及图形的问题，字母

n

通常用于表示图形中的顶点数量，而不是表示输入的长度

在您的情况下，变量

n

是物品的数量，变量

W

是行李的容量

因此，数字

n

与复杂性相关；但它本身并不是输入的整个长度。让我们调用

N

输入的实际长度。尽量不要混淆

n

和

n

。算法的复杂度必须表示为

N

的函数，“线性复杂度”、“多项式复杂度”、“指数复杂度”等术语总是指

N

，而不是

N

输入的长度是多少

您的输入包括成对的

（重量（i）、值（i））

，然后是容量

W

。据推测，袋子中的每件物品的重量范围为

0

到

W

；以及一个从

0

到某个最大值

V

的值。因此，权重需要与

W

一样多的位来表示，值需要与

V

一样多的位来表示

如果你对对数和写数字有点了解，你应该知道写一个数字所需的位数与其对数成正比。因此，每个权重需要

log（W）

位，每个值需要

log（V）

位

因此：

N=N*（log（W）+log（V））

你可以说服自己，

W

和

V

的长度与复杂性有关。这里我们所有的数字都是整数。但想象一下现实世界的问题。重量可以用吨或克表示

1吨

与

1000000克

相同。价值可以用美分或数万欧元表示。在将现实问题输入算法之前，我们需要选择我们的单位

如果重量以克而不是吨表示，您的算法解决问题是否需要更长的时间

答案是肯定的。因为克比吨精确一百万倍。所以当你用克而不是吨来提问时，你要求的答案要精确一百万倍。因此，该算法将需要更多的时间来找到该解决方案

我希望我能说服您，算法的复杂性应该表示为输入的实际长度的函数，而不仅仅是元素的数量。

问题是：“多项式作为什么的函数？”。当我们确定算法的复杂性时，我们通常（但并非总是）将其表示为输入长度的函数。通常，但并非总是，此长度由字母

n

表示。例如，如果研究涉及图形的问题，字母

n

通常用于表示图形中的顶点数量，而不是表示输入的长度

在您的情况下，变量

n

是物品的数量，变量

W

是行李的容量

因此，数字

n

与复杂性相关；但它本身并不是输入的整个长度。让我们调用

N

输入的实际长度。尽量不要混淆

n

和

n

。算法的复杂度必须表示为

N

的函数，“线性复杂度”、“多项式复杂度”、“指数复杂度”等术语总是指

N

，而不是

N

输入的长度是多少

您的输入包括成对的

（重量（i）、值（i））

，然后是容量

W

。据推测，袋子中的每件物品的重量范围为

0

到

W

；以及一个从

0

到某个最大值

V

的值。因此，权重需要与

W

一样多的位来表示，值需要与

V

一样多的位来表示

如果你对对数和写数字有点了解，你应该知道写一个数字所需的位数与其对数成正比。因此，每个权重需要

log（W）

位，每个值需要

log（V）

位

因此：

N=N*（log（W）+log（V））

你可以说服自己，

W

和

V

的长度与复杂性有关。这里我们所有的数字都是整数。但想象一下现实世界的问题。重量可以用吨或克表示

1吨

与

1000000克

相同。价值可以用美分或数万欧元表示。在将现实问题输入算法之前，我们需要选择我们的单位

如果重量以克而不是吨表示，您的算法解决问题是否需要更长的时间

答案是肯定的。因为