Algorithm 枚举具有固定行和列和的矩阵组合

我试图找到一种算法（不是matlab命令）来枚举所有可能的NxM矩阵，其约束条件是每个单元格中只有正整数（或0）以及每行和每列的固定和（这些是算法的参数）

例如： 枚举行总计2、1和列总计0、1、2的所有2x3矩阵：

| 0 0 2 | = 2
| 0 1 0 | = 1
  0 1 2

| 0 1 1 | = 2
| 0 0 1 | = 1
  0 1 2

这是一个相当简单的例子，但随着N和M的增加，以及总和的增加，可能会有很多可能性

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编辑1

我可能有一个有效的安排来启动算法：

matrix = new Matrix(N, M) // NxM matrix filled with 0s
FOR i FROM 0 TO matrix.rows().count()
  FOR j FROM 0 TO matrix.columns().count()
    a = target_row_sum[i] - matrix.rows[i].sum()
    b = target_column_sum[j] - matrix.columns[j].sum()
    matrix[i, j] = min(a, b)
  END FOR
END FOR

target_row_sum[i]是第i行的预期总和

在上面的例子中，它给出了第二种安排

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编辑2： （基于）

设M为验证给定条件的任意矩阵（行和列和固定、正或空单元格值）。 设（a，b，c，d）为M中的4个单元格值，其中（a，b）和（c，d）在同一行上，（a，c）和（b，d）在同一列上。 设Xa为包含a的单元格的行号，Ya为其列号

例如：

| 1 a b |
| 1 2 3 |
| 1 c d |
-> Xa = 0, Ya = 1
-> Xb = 0, Yb = 2
-> Xc = 2, Yc = 1
-> Xd = 2, Yd = 2

以下是一个算法，用于获得所有组合，验证初始条件并仅使a、b、c和d变化：

// A matrix array containing a single element, M
// It will be filled with all possible combinations
matrices = [M]

I = min(a, d)
J = min(b, c)
FOR i FROM 1 TO I
    tmp_matrix = M
    tmp_matrix[Xa, Ya] = a - i
    tmp_matrix[Xb, Yb] = b + i
    tmp_matrix[Xc, Yc] = c - i
    tmp_matrix[Xd, Yd] = d + i
    matrices.add(tmp_matrix)
END FOR
FOR j FROM 1 TO J
    tmp_matrix = M
    tmp_matrix[Xa, Ya] = a + j
    tmp_matrix[Xb, Yb] = b - j
    tmp_matrix[Xc, Yc] = c + j
    tmp_matrix[Xd, Yd] = d - j
    matrices.add(tmp_matrix)
END FOR

然后应能找到矩阵值的所有可能组合：

对每个可能的4个单元组的第一个矩阵应用该算法

递归地将算法应用于通过上一次迭代获得的每个子矩阵，用于除已在父执行中使用的任何组之外的每个可能的4个单元组

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递归深度应为

（N*（N-1）/2）*（M*（M-1）/2）

，每次执行产生

（（N*（N-1）/2）*（M*（M-1）/2）-深度）*（I+J+1）

子矩阵。但这会产生大量重复矩阵，因此可能会对其进行优化。

对于NXM矩阵，您有NXM未知数和N+M方程。将随机数放在左上角（N-1）X（M-1）子矩阵上，除了（N-1，M-1）元素。现在，您可以轻松地找到其余N+M元素的闭合形式

更多细节：共有T=N*M个元素

有R=（N-1）+（M-1）-1个随机填写的元素

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剩余未知数：T-S=N*M-（N-1）*（M-1）+1=N+M

你需要这个来计算吗？因为这需要您所做的，并且基于该页面，看起来通常会有大量的解决方案，所以如果您想要每个解决方案，那么您可能无法做得比蛮力递归枚举更好。有些软件似乎成功地使用了蒙特卡罗近似法，而不是全面的枚举法

我问了一个问题，可能会有帮助。虽然这个问题涉及的是保持每行和每列中字母的频率，而不是求和，但有些结果可以跨行翻译。例如，如果您找到任何带有数字的子矩阵（一对不一定相邻的行和一对不一定相邻的列）

xy
yx

然后你可以把这些重新排列成

yx
xy

不更改任何行或列和。然而：

• 证明了在一般情况下，存在任何2x2交换序列都无法达到的有效矩阵。这可以从他的3x3矩阵和映射

  A->1

  ，

  B->2

  ，

  C->4

  中看出，并注意到，因为没有元素在一行或一列中出现超过一次，所以原始矩阵中的频率保持等同于新矩阵中的和保持。然而
• 链接到数学证明，它实际上适用于条目仅为0或1的矩阵

更一般地说，如果你有任何子矩阵

ab
cd

如果（不一定是唯一的）最小值是d，那么您可以用任何d+1矩阵替换它

ef
gh

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其中h=d-i，g=c+i，f=b+i和e=a-i，对于任何整数0，我刚刚编辑了这个问题，以包含一个附加约束：单元格值必须是正整数或空整数，否则将有无限多的排列，您的命题确实是唯一有效的答案。的确，我需要这个算法在大数据样本上应用Fisher精确检验（但单元值相对较低，因此排除了任何渐近检验，如Chi²检验）。我还需要另一个更实用的问题的算法，涉及许多卖家（每个卖家都有一组数量可变的可用物品）和买家，他们试图找到一组数量不同的物品的最佳配置（最低成本，包括每个卖家和每种物品的固定和可变费用…）-但我还是要看一看蒙特卡罗测试。如果行和列的总和较低，那么可以通过依次决定如何将不可区分的“大理石”分配到“料仓”来列举所有可能性，其中行中的每个单元格都是一个料仓，行和告诉您有多少大理石。有

（n+r-1）选择（r-1）

方法将r个弹珠分布在n个箱子中，用于一行；将每行的结果相乘，得到配置数量的松散上限（松散，因为某些分布将被列和禁止）。