Algorithm 离散优化算法

我正试图确定解决我的问题的最佳方法，如下所示：

我有一组对象（大约3k-5k），我想将其唯一分配给大约10个组（每个对象1个组）。 每个对象都有一组等级，对应于它在每个组中的匹配程度。 每个组都有其可以管理的对象的容量（约束）。 我的目标是最大限度地提高我的作业成绩

例如，假设我有3个对象（o1，o2，o3）和2个带帽的组（g1，g2）。每个对象有一个对象。 现在假设等级为：

o1:g1=11，g2=8

o2:g1=10，g2=5

o3:g1=5，g2=6

在这种情况下，为了获得最佳结果，g1应接收o2，g2应接收o1，得出10+8=18分的总数

请注意，对象的数量可能超过配额的总和（例如，将o3作为“剩菜”）或不足配额

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我应该如何解决这个问题（旅行推销员，一种有重量的背包等）？在普通电脑上使用蛮力强制执行需要多长时间？是否有任何标准工具（如Matlab中的linprog函数）支持此类问题？

可以使用最小成本流算法解决。 图表可以按以下方式显示：

它应该是两部分的。左侧部分表示对象（每个对象一个顶点）。右侧部分表示组（每组一个顶点）。从左侧的每个顶点到右侧的每个顶点都有一条边，该对的

容量
=1和
成本
=-等级。还有一条从源顶点到左侧每个顶点的边，其
容量
=1和
成本
=0；还有一条从右侧每个顶点到汇顶点的边（汇和源是两个附加顶点），其
容量
=此组的约束和
成本
=0

答案是
——从源到汇的最便宜的流量成本

可以用时间复杂度（使用带势的Dijkstra算法）来实现它（
N
是对象的数量，
M
是组的数量）。
这可以用整数程序来解决。如果对象i被分配给组j，则二进制变量x{ij}状态。目标最大化\sum{i，j}s{ij}x{ij}，其中s{ij}是与将i分配给j相关的分数，x{ij}是是否将i分配给j。您有两种类型的约束：


\求和
# Score matrix
S <- matrix(c(11, 10, 5, 8, 5, 6), nrow=3)
# Capacity vector
cvec <- c(1, 1)

# Helper function to construct constraint matrices
unit.vec <- function(pos, n) {
  ret <- rep(0, n)
  ret[pos] <- 1
  ret
}

# Capacity constraints
cap <- t(sapply(1:ncol(S), function(j) rep(unit.vec(j, ncol(S)), nrow(S))))

# Object assignment constraints
obj <- t(sapply(1:nrow(S), function(i) rep(unit.vec(i, nrow(S)), each=ncol(S))))

# Solve the LP
res <- lp(direction="max",
          objective.in=as.vector(t(S)),
          const.mat=rbind(cap, obj),
          const.dir="<=",
          const.rhs=c(cvec, rep(1, nrow(S))),
          all.bin=TRUE)

# Grab assignments and objective
sln <- t(matrix(res$solution, nrow=ncol(S)))
apply(sln, 1, function(x) ifelse(sum(x) > 0.999, which(x == 1), NA))
# [1]  2  1 NA
res$objval
# [1] 18